リエナールの定理

次のような微分方程式を、リエナール方程式という。

リエナール方程式が次の5つの条件を満たすとき、${\displaystyle \left(x,{dx \over dt}\right)}$ 平面状に唯一の安定なリミットサイクルを持つ。

1. f(x) と g(x) の微分が連続（C¹級）
2. g(x) が奇関数
3. f(x) が偶関数
4. x > 0 ならば、 g(x) > 0
5. 次のような a が存在する。奇関数 ${\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}\!f(u)\,du}$ が、
   • ${\displaystyle 0<x<a}$ ならば、${\displaystyle F(x)<0}$
   • ${\displaystyle F(a)=0}$
   • ${\displaystyle x>a}$ ならば、正かつ非減少

リエナール方程式は、

${\displaystyle F(x):=\int _{0}^{x}f(\xi )d\xi }$

${\displaystyle x_{1}:=x\,}$

${\displaystyle x_{2}:={dx \over dt}+F(x)}$

と置くことで、等価な2次元の常微分方程式系に変換できる。

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {h} (x_{1},x_{2}):={\begin{bmatrix}x_{2}-F(x_{1})\\-g(x_{1})\end{bmatrix}}}$

これをリエナール系と呼ぶ.

• アルフレド＝マリー・リエナール
• ファン・デル・ポール振動子