ルジャンドルのカイ関数

数学において、ルジャンドルのカイ関数(Legendre chi function)とは、テイラー展開が以下により与えられた、ディリクレ級数でもある特殊関数である。

${\displaystyle \chi _{\nu }(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{\nu }}}.}$

上の式は多重対数関数のディリクレ級数と似ている。事実、以下のような多重対数関数を用いた表現が可能である。

${\displaystyle \chi _{\nu }(z)={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Li} _{\nu }(z)-\operatorname {Li} _{\nu }(-z)\right].}$

フルヴィッツのゼータ関数${\displaystyle \zeta (s,q)}$の変数sでの離散フーリエ変換は、ルジャンドルのカイ関数である。

ルジャンドルカイ関数は、レルヒのゼータ関数の特殊なケースである。そのため、次の式でも与えられる。

${\displaystyle \chi _{\nu }(z)=2^{-\nu }z\,\Phi (z^{2},\nu ,1/2).\,}$