ループのアイソトピー

任意の準群は、あるループとアイソトピックである。

${\displaystyle (Q,\cdot )}$ と ${\displaystyle (P,\circ )}$ を 準群 とする。 Q から P への 準群ホモトピー (英: quasigroup homotopy) とは、 Q から P への写像の三つ組み (α, β, γ) であって、以下の条件を満たす者である。

${\displaystyle \alpha (x)\circ \beta (y)=\gamma (x\cdot y)\,\quad \forall x,y\in Q}$

準群の準同型 (英: quasigroup homomorphism) とは、単に、これら三つの写像がすべて同じ写像であることと定義する。

アイソトピー (または イソトピー とも発音する、英: isotopy) は、ホモトピーの特殊なケースであって、三つの写像 (α, β, γ) が 全単射　である。二つの準群が アイソトピック (イソトピック 英:isotopic) とは、それらの準群の間にアイソトピーが存在することと定義される。ラテン方格 の言葉で言い換えると、アイソトピー (α, β, γ) は、行の置換 α、列の置換 β、 そして γ は、表内の P の要素集合の置換に相当する。

オートトピー (英: autotopy) は、 ${\displaystyle (Q,\cdot )}$ からそれ自身へのアイソトピーであり。準群のすべてのオートトピーの集合は、自己同型群 を部分群とする群を成す [原文 2]。

主アイソトピー (英: principal isotopy) とは、アイソトピーで特に、γ が Q 上の恒等写像であること。 この場合は、二つの準群は台集合は同じでなければならないが、その乗算は異なる場合もあり得る [原文 3]。

${\displaystyle (L,\cdot )}$ と ${\displaystyle (K,\circ )}$ をループとし、${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\gamma ):L\to K}$ をアイソトピーとする。 この時、(そのアイソトピー) は主アイソトピー ${\displaystyle (L,\cdot )}$ と ${\displaystyle (L,*)}$ の ${\displaystyle (\alpha _{0},\beta _{0},id)}$ と、同型写像 ${\displaystyle (L,*)}$ と${\displaystyle (K,\circ )}$ 間の ${\displaystyle \gamma }$ を使って、それらの合成 になっている[1] 実際、${\displaystyle \alpha _{0}=\gamma ^{-1}\alpha }$, ${\displaystyle \beta _{0}=\gamma ^{-1}\beta }$ とおいて、演算を ${\displaystyle *}$ by ${\displaystyle x*y=\alpha ^{-1}\gamma (x)\cdot \beta ^{-1}\gamma (y)}$ で定義する。

${\displaystyle (L,\cdot )}$ と ${\displaystyle (L,\circ )}$ をループとし、e を 単位元 of ${\displaystyle (L,\cdot )}$ とする。さらに ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,id)}$ を ${\displaystyle (L,\cdot )}$ to ${\displaystyle (L,\circ )}$ への主アイソトピーとする。この時 ${\displaystyle \alpha =R_{b}^{-1}}$ および ${\displaystyle \beta =L_{a}^{-1}}$ ここで ${\displaystyle a=\alpha (e)}$ and ${\displaystyle b=\beta (e)}$.

ループ L が G-loop であるとは、それがすべてのループアイソトープループと同型であることと定義される[原文 4]。

L をループ、c を L の元とする。 L の全単射 α は任意の x, y に対して、下記の恒等式を満たすこ時、c を コンパニオン要素 とする右疑似同型 (英: right pseudo-automorphism of L with companion element c) と呼ばれる：

${\displaystyle \alpha (xy)c=\alpha (x)(\alpha (y)c)}$

同様に、左疑似同型 (英: left pseudo-automorphisms) も定義される。

ループについてのある性質 P が ユニバーサル (普遍的、英: universal) であるとは、その性質が、アイソトピー不変であることと定義される。すなわち、ループ L においてある性質 P が成り立つか否かと、L のイソトープなループでも同様に性質 P が成り立つか否かが一致していることである。明らかに、L の主アイソトープについて P が成り立つかどうかをチェックすれば十分である。

例として、可換ループのアイソトープは、必ずしも可換とは限らないので、可換性 はユニバーサルではない。 しかし、別の例として、結合性はユニバーサルである。アーベル群であるという性質もユニバーサルな性質である。 実際、任意の群は、G-loop である 。

与えられたループ L に対して、3-net と呼ばれる 入社幾何 学的構造を定義することができる。 逆に、原点と直線クラスの 順序 を固定すると、3-net はループを発生させる。 別の原点を選択したり、直線クラスを交換したりすると、非同型座標のループが発生する可能性もある [原文 5]。 しかしながら、座標ループ は常にアイソトピックである。 言い換えると、二つのループがアイソトピックであるのは、幾何学的な観点から同値であるとき、またその時に限る[原文 6]。

代数学と幾何学の概念の間の対応は下記の通りである。

• ループのオートトピーの成す群は、3-net の 共線変換 を保存する 群の方向 に対応 [原文 7]
• 疑似自己同型は、座標系の二つの軸を固定する共線変換に対応。
• コンパニオン要素の集合は、共線変換群における軸のスタビライザの軌道に対応[原文 8]。
• ループが G-loop である iff. 共線変換の群の作用が 3-net の点の集合に推移的に作用するとき、またその時に限る。
• 性質 P がユニバーサルである iff. 原点の選択に依存しない [原文 9]。

• Isotopy of an algebra

• Albert, A. A. (1943), “Quasigroups. I.”, Trans. Amer. Math. Soc. 54: 507–519, doi:10.1090/s0002-9947-1943-0009962-7, MR0009962
• Kurosh, A. G. (1963), Lectures on general algebra, New York: Chelsea Publishing Co., MR0158000