レイリー・プレセット方程式

質量保存の法則により、半径方向の外向きの速度${\displaystyle u(r,t)}$は気泡中心からの距離の2乗に反比例するという逆2乗の法則が要求される[5]。 すなわち、${\displaystyle F(t)}$を何らかの時間の関数として、

${\displaystyle u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}}$

と表わせる。

気泡表面での質量輸送が無い場合には、表面の速度は

${\displaystyle u(R,t)={\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}={\frac {F(t)}{R^{2}}}}$

とならなくてはならないので、${\displaystyle F(t)}$は

${\displaystyle F(t)=R^{2}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}}$

と求められる。

質量輸送が起こる場合には、気泡内部の質量増加率は

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} m_{V}}{\mathrm {d} t}}=\rho _{V}{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} t}}=\rho _{V}{\frac {\mathrm {d} (4\pi R^{3}/3)}{\mathrm {d} t}}=4\pi \rho _{V}R^{2}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}}$

表される。ここで${\displaystyle V}$は気泡の体積である。 もし、${\displaystyle u_{L}}$が${\displaystyle r=R}$における液体の気泡に対する相対速度とすると、気泡に入り込む質量は

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} m_{L}}{\mathrm {d} t}}=\rho _{L}Au_{L}=\rho _{L}(4\pi R^{2})u_{L}}$

で与えられる。ここで、${\displaystyle A}$は気泡の表面積である。 すると質量保存${\displaystyle \mathrm {d} m_{v}/\mathrm {d} t=\mathrm {d} m_{L}/\mathrm {d} t}$から、${\displaystyle u_{L}=(\rho _{V}/\rho _{L})\mathrm {d} R/\mathrm {d} t}$であるから、

${\displaystyle u(R,t)={\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}-u_{L}={\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right){\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}}$

となるので、${\displaystyle F(t)}$は

${\displaystyle F(t)=\left(1-{\frac {\rho _{V}}{\rho _{L}}}\right)R^{2}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}}$

と求められる。

多くの場合、液体の密度はその蒸気の密度に比べて大変大きい(${\displaystyle \rho _{L}\gg \rho _{V}}$)ので、${\displaystyle F(t)}$は前者の質量輸送の無い場合${\displaystyle F(t)=R^{2}\mathrm {d} R/\mathrm {d} t}$に近似され、

${\displaystyle u(r,t)={\frac {F(t)}{r^{2}}}={\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}}$

となる[5]。

液体がニュートン流体であると仮定すると、極座標における半径方向の運動に対する非圧縮性ナビエ-ストークス方程式は

${\displaystyle \rho _{L}\left({\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)=-{\frac {\partial P}{\partial r}}+\mu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]}$

と与えられる。 動粘度${\displaystyle \nu _{L}={\frac {\mu _{L}}{\rho _{L}}}}$を代入し変形すると

${\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial r}}-\nu _{L}\left[{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)-{\frac {2u}{r^{2}}}\right]}$

ここで質量保存から求めた${\displaystyle u(r,t)}$を代入し、

${\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}{\frac {\partial P}{\partial r}}={\frac {2R}{r^{2}}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+{\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} ^{2}R}{\mathrm {d} t^{2}}}-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}R}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}$

を得る。 代入の過程で粘性項が消えたことに注意する[5]。 変数分離して、気泡の境界${\displaystyle r=R}$から${\displaystyle r\rightarrow \infty }$まで積分

${\displaystyle -{\frac {1}{\rho _{L}}}\int _{P(R)}^{P_{\infty }}\mathrm {d} P=\int _{R}^{\infty }\left[{\frac {1}{r^{2}}}\left(2R\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}R}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)-{\frac {2R^{4}}{r^{5}}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]\mathrm {d} r}$

を求めると

${\displaystyle {\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}=\left[-{\frac {1}{r}}\left(2R\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+R^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}R}{\mathrm {d} t^{2}}}\right)+{\frac {R^{4}}{2r^{4}}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}\right]_{R}^{\infty }=R{\frac {\mathrm {d} ^{2}R}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}$

が得られる。

液体中における気泡の中心から半径方向外向きの垂直応力を${\displaystyle \sigma _{rr}}$とする。 球面座標系では、一定の密度および一定の粘度を持つ流体に対して、その垂直応力は

${\displaystyle \sigma _{rr}=-P+2\mu _{L}{\frac {\partial u}{\partial r}}}$

と求められる。 ゆえに気泡表面の微小部分では、単位面積当たりの境界の薄い層にかかる力は

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{rr}(R)+P_{B}-{\frac {2S}{R}}&=-P(R)+2\mu _{L}\left.{\frac {\partial u}{\partial r}}\right|_{r=R}+P_{B}-{\frac {2S}{R}}\\&=-P(R)+2\mu _{L}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {R^{2}}{r^{2}}}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)_{r=R}+P_{B}-{\frac {2S}{R}}\\&=-P(R)-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}+P_{B}-{\frac {2S}{R}}\\\end{aligned}}}$

となる。ここで、${\displaystyle S}$は表面張力である。 この境界で質量輸送が無いならば、面積当たりのこの力はゼロになる必要があるので、

${\displaystyle P(R)=P_{B}-{\frac {4\mu _{L}}{R}}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}-{\frac {2S}{R}}}$

ゆえに運動量保存の結果から

${\displaystyle {\frac {P(R)-P_{\infty }}{\rho _{L}}}={\frac {P_{B}-P_{\infty }}{\rho _{L}}}-{\frac {4\mu _{L}}{\rho _{L}R}}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}-{\frac {2S}{\rho _{L}R}}=R{\frac {\mathrm {d} ^{2}R}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}}$

${\displaystyle \nu _{L}=\mu _{L}/\rho _{L}}$で置き換えることで、レイリー・プレセット方程式を得る[5]

${\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\frac {\mathrm {d} ^{2}R}{\mathrm {d} t^{2}}}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}}{R}}{\frac {\mathrm {d} R}{\mathrm {d} t}}+{\frac {2S}{\rho _{L}R}}}$

時間についてドット記法を用いると、レイリー・プレセット方程式はより簡潔に書ける

${\displaystyle {\frac {P_{B}(t)-P_{\infty }(t)}{\rho _{L}}}=R{\ddot {R}}+{\frac {3}{2}}\left({\dot {R}}\right)^{2}+{\frac {4\nu _{L}{\dot {R}}}{R}}+{\frac {2S}{\rho _{L}R}}}$