レヴィ–プロホロフ計量

${\displaystyle (M,d)}$ を、ボレル完全加法族 ${\displaystyle {\mathcal {B}}(M)}$ を備える距離空間とする。可測空間 ${\displaystyle (M,{\mathcal {B}}(M))}$ 上の全ての確率測度の系を ${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ で表す。

部分集合 ${\displaystyle A\subseteq M}$ に対し、そのε-近傍を

${\displaystyle A^{\varepsilon }:=\{p\in M~|~\exists q\in A,\ d(p,q)<\varepsilon \}=\bigcup _{p\in A}B_{\varepsilon }(p)}$

で定義する。ここで ${\displaystyle B_{\varepsilon }(p)}$ は ${\displaystyle p}$ を中心とする半径 ${\displaystyle \varepsilon }$ の開球とする。

レヴィ–プロホロフ計量 ${\displaystyle \pi$ :{\mathcal {P}}(M)^{2}\to [0,+\infty )} は、二つの確率測度 ${\displaystyle \mu }$ と ${\displaystyle \nu }$ の間の距離を

${\displaystyle \pi (\mu ,\nu ):=\inf \left\{\varepsilon >0~|~\mu (A)\leq \nu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{and}}\ \nu (A)\leq \mu (A^{\varepsilon })+\varepsilon \ {\text{for all}}\ A\in {\mathcal {B}}(M)\right\}}$

と定めることによって、定義される。

確率測度に対して ${\displaystyle \pi (\mu ,\nu )\leq 1}$ が成り立つことは明らかである。

人によっては、上述の定義の二つの不等式の内いずれかを省略したり、開あるいは閉のいずれかである ${\displaystyle A}$ のみを考えることもある。片方の不等式はもう片方を意味するが、開/閉を制限することは計量の定義を変える結果につながる。

• ${\displaystyle (M,d)}$ が可分であるなら、レヴィ–プロホロフ計量における測度の収束は測度の弱収束と同値である。したがって、${\displaystyle \pi }$ は弱収束の位相の距離化である。
• 距離空間 ${\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)}$ が可分であるための必要十分条件は ${\displaystyle (M,d)}$ が可分であることである。
• ${\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)}$ が完備であるなら ${\displaystyle (M,d)}$ も完備である。${\displaystyle {\mathcal {P}}(M)}$ に含まれる全ての測度が可分な台を持つなら、その逆も成立する。すなわち、${\displaystyle (M,d)}$ が完備であるなら ${\displaystyle \left({\mathcal {P}}(M),\pi \right)}$ も完備となる。
• ${\displaystyle (M,d)}$ が可分かつ完備であるなら、部分集合 ${\displaystyle {\mathcal {K}}\subseteq {\mathcal {P}}(M)}$ が相対コンパクトであることと、その ${\displaystyle \pi }$-閉包が ${\displaystyle \pi }$-コンパクトであることは同値である。

• レヴィ計量
• ワッサースタイン計量

• Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. John Wiley & Sons, Inc., New York. ISBN 0-471-19745-9. OCLC 41238534
• Zolotarev, V.M. (2001), “Lévy–Prokhorov metric”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Lévy–Prokhorov_metric