ロドリゲスの回転公式

R³ 上の回転軸を表す単位ベクトル n = ^t[n_x n_y n_z], 右手の法則に基づく回転角度 θ に対して、ロドリゲスの回転公式は次の様に与えられる。

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{\boldsymbol {n}}(\theta )&=e^{\theta K({\boldsymbol {n}})}\\&=E+(\sin \theta )K({\boldsymbol {n}})+(1-\cos \theta )K^{2}({\boldsymbol {n}})\\&={\begin{bmatrix}n_{x}^{2}\left(1-\cos \theta \right)+\cos \theta &n_{x}n_{y}\left(1-\cos \theta \right)-n_{z}\sin \theta &n_{z}n_{x}\left(1-\cos \theta \right)+n_{y}\sin \theta \\n_{x}n_{y}\left(1-\cos \theta \right)+n_{z}\sin \theta &n_{y}^{2}\left(1-\cos \theta \right)+\cos \theta &n_{y}n_{z}\left(1-\cos \theta \right)-n_{x}\sin \theta \\n_{z}n_{x}\left(1-\cos \theta \right)-n_{y}\sin \theta &n_{y}n_{z}\left(1-\cos \theta \right)+n_{x}\sin \theta &n_{z}^{2}\left(1-\cos \theta \right)+\cos \theta \\\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

ここで E は3次単位行列であり、

${\displaystyle \textstyle K({\boldsymbol {n}})={\begin{bmatrix}0&-n_{z}&n_{y}\\n_{z}&0&-n_{x}\\-n_{y}&n_{x}&0\end{bmatrix}}}$

は n との外積に対応する交代行列（歪対称行列、或いは反対称行列とも呼ばれる）である。

また、単位軸ベクトル n を n = ^t[n₁ n₂ n₃] と表した場合、上記の行列 R_n(θ) の (i, j) 成分はクロネッカーのデルタ及び符号関数を用いて以下のように表すことも出来る。

${\displaystyle \textstyle n_{i}n_{j}(1-\cos \theta )+\delta _{ij}\cos \theta +\{\operatorname {sgn}(i-j)\}\left[\sum _{k=1}^{3}\operatorname {sgn}\{(i-k)(j-k)\}n_{k}\right]\sin \theta }$

なお、上記の添え字 k は結局、集合 {1, 2, 3} から集合 {i, j} を取り除いた残り1つの元に当たるもののみが残るから、差集合の考え方を用いて以下のように表しても良い。

${\displaystyle \textstyle n_{i}n_{j}(1-\cos \theta )+\delta _{ij}\cos \theta +\{\operatorname {sgn}(j-i)\}(-1)^{i+j}n_{k}\sin \theta \qquad (k\in \{1,2,3\}\setminus \{i,j\})}$

他の表現として、回転面を表すゼロでないベクトル a, b に対する軸ベクトルとしてクロス積 a × b を用いることができる。このとき、回転角 θ を a から離れた、もしくは b に向けた角として表せる。2つのベクトルがなす角を α とすると、θ と同様の意味を α に与えることができる（ただし2つは必ずしも一致しない）。このとき、単位軸ベクトル n は次のように書ける。

${\displaystyle {\boldsymbol {n}}={\frac {{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}}{\|{\boldsymbol {a}}\times {\boldsymbol {b}}\|}}}$

もし回転面を表すベクトルが事前に分かっている場合は、この形式を用いる。物理学における例として、トーマスの歳差運動が挙げられる。

R³ 上のベクトル r = ^t[r_x r_y r_z] を、単位ベクトル n = ^t[n_x n_y n_z] を軸に、右手の法則に基づく回転角度 θ だけ回転させた結果得られたベクトルを s = ^t[s_x s_y s_z] とすると、s は以下のように表される[1]。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {s}}&=(\cos \theta ){\boldsymbol {r}}+(1-\cos \theta )({\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}){\boldsymbol {n}}+(\sin \theta )({\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {r}})\\&=(\cos \theta ){\boldsymbol {r}}+(1-\cos \theta )\{{\boldsymbol {n}}\times ({\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {r}})+{\boldsymbol {r}}\}+(\sin \theta )({\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {r}})\\&={\boldsymbol {r}}+(\sin \theta )({\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {r}})+(1-\cos \theta )\{{\boldsymbol {n}}\times ({\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {r}})\}\end{aligned}}}$

なお、2番目の等号はベクトル三重積及び n が単位ベクトルであることを用いた。

ここで、n × r 及び n × (n × r) を成分表示（列ベクトル表示）し、正方行列と r の積の形に変形すると、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {r}}&={\begin{bmatrix}n_{y}r_{z}-n_{z}r_{y}\\n_{z}r_{x}-n_{x}r_{z}\\n_{x}r_{y}-n_{y}r_{x}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&-n_{z}&n_{y}\\n_{z}&0&-n_{x}\\-n_{y}&n_{x}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}r_{x}\\r_{y}\\r_{z}\end{bmatrix}}\\&=K({\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {r}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {n}}\times ({\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {r}})&=({\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {r}}){\boldsymbol {n}}-{\boldsymbol {r}}\\&={\begin{bmatrix}(n_{x}r_{x}+n_{y}r_{y}+n_{z}r_{z})n_{x}-r_{x}\\(n_{x}r_{x}+n_{y}r_{y}+n_{z}r_{z})n_{y}-r_{y}\\(n_{x}r_{x}+n_{y}r_{y}+n_{z}r_{z})n_{z}-r_{z}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}n_{x}^{2}-1&n_{x}n_{y}&n_{z}n_{x}\\n_{x}n_{y}&n_{y}^{2}-1&n_{y}n_{z}\\n_{z}n_{x}&n_{y}n_{z}&n_{z}^{2}-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}r_{x}\\r_{y}\\r_{z}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}-n_{y}^{2}-n_{z}^{2}&n_{x}n_{y}&n_{z}n_{x}\\n_{x}n_{y}&-n_{z}^{2}-n_{x}^{2}&n_{y}n_{z}\\n_{z}n_{x}&n_{y}n_{z}&-n_{x}^{2}-n_{y}^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}r_{x}\\r_{y}\\r_{z}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}0&-n_{z}&n_{y}\\n_{z}&0&-n_{x}\\-n_{y}&n_{x}&0\end{bmatrix}}^{2}{\begin{bmatrix}r_{x}\\r_{y}\\r_{z}\end{bmatrix}}\\&=K^{2}({\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {r}}\end{aligned}}}$

であるから、以下に示す通り、本節のベクトル表現は前節の行列表現と同等であることが分かる。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {s}}&={\boldsymbol {r}}+(\sin \theta )({\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {r}})+(1-\cos \theta )\{{\boldsymbol {n}}\times ({\boldsymbol {n}}\times {\boldsymbol {r}})\}\\&={\boldsymbol {r}}+(\sin \theta )K({\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {r}}+(1-\cos \theta )K^{2}({\boldsymbol {n}}){\boldsymbol {r}}\\&=\{E+(\sin \theta )K({\boldsymbol {n}})+(1-\cos \theta )K^{2}({\boldsymbol {n}})\}{\boldsymbol {r}}\end{aligned}}}$

• 『ロドリゲスの回転公式（3次元の回転行列）』 - 高校数学の美しい物語