階乗冪

• 特殊函数論でしばしば用いられるポッホハマー記号[* 3]は、下降階乗冪を (x)_n で、上昇階乗冪を x⁽ⁿ⁾ あるいは (x)⁽ⁿ⁾ で表す[3]。また、(x)±
  n と書くこともある[* 4]。
• Graham, Knuth & Patashnik (1988) による、組合せ論でしばしば用いられる記号法では xⁿ が下降階乗冪、xⁿ が上昇階乗冪を表す。
• 組合せ論における k-順列の総数 _nP_k = P(n, k) は下降階乗冪（n の下降 k-乗）である。

${\displaystyle (x)_{n}=(x)_{n}^{-}=x^{\underline {n}}=\prod _{k=1}^{n}(x-k+1),}$

${\displaystyle (x)^{(n)}=(x)_{n}^{+}=x^{\overline {n}}=\prod _{k=1}^{n}(x+k-1).}$

また、自然数 n, k に対して

${\displaystyle (n)_{k}=n^{\underline {k}}={}_{n}P_{k}={\frac {n!}{(n-k)!}},}$

${\displaystyle n^{(k)}=n^{\overline {k}}={\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!}}}$

と書くことができる。ここで感嘆符 "!" は階乗を表す。

x および x + n が負の整数でないとき、階乗の代わりにその補間函数であるガンマ函数を用いれば階乗冪の指数 n は任意の実数（あるいは複素数）とすることができる。具体的には次のようになる[* 5][* 6]。

特に上記二式の右辺の式は x が負の整数の場合に特に有効[* 7]である。

ふたつの実数 a および x について、a と a + x が負の整数でないとき、定数 a を底とし、指数 x を変数とする階乗冪 (a)±
x は（階乗冪を冪の類似と見做すならば）指数函数の類似である[* 8]。

空積の規約により

${\displaystyle x^{\underline {0}}=x^{\overline {0}}=1}$

と定める。ただし、x が 0 の場合には 0 の 0-乗（これもまた空積である）の扱いに準じる（定義しないとするか、しばしば 1 と定める）。

下降階乗冪と上昇階乗冪の間に関係

${\displaystyle x^{\underline {n}}=(-1)^{n}(-x)^{\overline {n}},}$

${\displaystyle x^{\overline {n}}=(-1)^{n}(-x)^{\underline {n}}}$

が成り立つ。

上昇階乗冪 xⁿ (n = 1, 2, 3, …) および下降階乗冪xⁿ (n = 1, 2, 3, …) はそれぞれ、x を変数とする多項式とみるとき多項式環の基底になる。標準基底 xⁿ (n = 1, 2, 3, …) との基底変換は以下のように与えられる:

${\displaystyle x^{\underline {n}}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\left[{n \atop k}\right]\,x^{k},}$

${\displaystyle x^{n}=\sum _{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}\,x^{\underline {k}}.}$

ただし、${\displaystyle \textstyle \left[{n \atop k}\right]}$ は第一種スターリング数、${\displaystyle \textstyle \left\{{n \atop k}\right\}}$ は第二種スターリング数である。

同様に、上昇階乗冪と通常の冪には次の関係がある。

${\displaystyle x^{\overline {n}}=\sum _{k=0}^{n}\left[{n \atop k}\right]\,x^{k},}$

${\displaystyle x^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}\left\{{n \atop k}\right\}\,x^{\overline {k}}.}$

上昇（または下降）階乗冪全体の成す多項式列は二項型である。即ち

${\displaystyle (a+b)^{\underline {n}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{\underline {k}}\,b^{\underline {n-k}},}$

${\displaystyle (a+b)^{\overline {n}}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{\overline {k}}\,b^{\overline {n-k}}}$

あるいはこれらをまとめて

${\displaystyle (a+b)_{n}^{\pm }=\sum _{k=0}^{n}{n \choose j}(a)_{k}^{\pm }(b)_{n-k}^{\pm }}$

が成り立つ。上昇階乗冪に対するものは、ヴァンデルモンドの畳み込みと呼ばれる。

下降階乗冪は多項式環の基底を成す。これは下降階乗冪の線型結合同士の積が再び下降階乗冪の線型結合となることを意味し、それは以下を確かめれば十分である:

${\displaystyle x^{\underline {m}}\,x^{\underline {n}}=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}{n \choose k}k!\,x^{\underline {m+n-k}}.}$

右辺に現れる各項の係数

${\displaystyle {m \choose k}{n \choose k}k!}$

をこの積における結合定数 (connection coefficient) と総称する。この定数は組合せ論的に、m-元集合と n-元集合の非交和から選んだ k-組合せの総数と解釈することができる。

指数法則に似た次の法則が下降階乗冪、上昇階乗冪に成り立つ。

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{\underline {m+n}}&=x^{\underline {m}}\,(x-m)^{\underline {n}}\\x^{\overline {m+n}}&=x^{\overline {m}}\,(x+m)^{\overline {n}}\end{aligned}}\quad ({\text{or }}(x)_{m+n}^{\mp }=(x)_{m}^{\mp }(x\mp m)_{n})}$

これを用いて、負数の下降階乗冪、上昇階乗冪を定義することもできる。

また、次のような関係もある

${\displaystyle {\frac {x^{\overline {n}}}{x^{\overline {m}}}}={\begin{cases}(x+m)^{\overline {n-m}}&(n>m),\\[5pt]{\dfrac {1}{(x+m)^{\overline {m-n}}}}&(m>n)\end{cases}}}$

以下 m, n, k は自然数とし、第 k-項が k の上昇 m-乗であるような数列の和を考える。上昇階乗冪とその逆数は、和の公式が次のような形で書くことができる。双方の公式とも、畳み込み級数となることを利用すれば導出できる。

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{k=1}^{n}k^{\overline {m}}={\frac {n^{\overline {m+1}}}{m+1}},\\&\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{\overline {m+1}}}}={\frac {1}{m}}\left({\frac {1}{m!}}-{\frac {1}{(n+1)^{\overline {m}}}}\right).\end{aligned}}}$

変数 x の下降 n-乗の微分は、

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{x}^{\underline {n}}={x}^{\underline {n}}(H_{x}-H_{x-n})}$

である。ただし、${\displaystyle H_{x}}$は調和数[* 9]である。

また変数 x の上昇 n-乗の微分は、

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{x}^{\overline {n}}={x}^{\overline {n}}(\psi (x+n)-\psi (x))}$

である。ただし、${\displaystyle \psi (x)}$はディガンマ関数である。

逆に、自然数 n の下降 x-乗の冪指数 x を変数とする微分は、

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{n}^{\underline {x}}={n}^{\underline {x}}\psi (n-x+1),}$

自然数 n の上昇 x-乗の冪指数 x に関する微分は、

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{n}^{\overline {x}}={n}^{\overline {x}}\psi (n+x)}$

となる。