二次閉体

• 複素数体は二次閉体である。より一般に、任意の代数閉体は二次閉である。
• 実数体は二次的に閉じていない。なんとなれば −1 の平方根は存在しない。
• 任意の非負整数 n に亘る有限体 ${\textstyle \mathbb {F} _{5^{2^{n}}}}$ の合併は二次閉だが代数閉でない体の例となる[3]。
• 作図可能数体は二次閉だが代数閉でない[4]。

• 体が二次閉となるための必要十分条件は普遍不変量が 1 に等しいことである。
• 任意の二次閉体はピタゴラス体だが逆は成り立たない（例えば、実数体 R はピタゴラスである）。ただし、任意の非形式的実ピタゴラス体は二次閉である[2]。
• 体が二次閉となるための必要十分条件は、そのヴィット–グロタンディエック環が次元写像により Z に同型となることである[3]。
• 形式的実ユークリッド体 E は二次閉でない（−1 は E の平方元でない）が、二次拡大体 E(√−1) は二次閉となる[4]。
• 有限次拡大 E/F で E が二次閉となるとき、−1 は F の平方元かつ F が二次閉となるか、さもなくば −1 は F の非平方元かつ F はユークリッドである。この「下降」定理 ("going-down theorem") はディラー–ドレスの定理から帰結することができる[5]。

体 F の二次閉包 (quadratic closure) とは F を含む二次閉体であって、かつ F を含む任意の二次閉体へ埋め込むことができるものを言う。かってな体 F に対して、その二次閉包は F の代数閉包 F^alg の部分体として構成することができ、それは F^alg における F から任意の二次拡大を繰り返して得られる体（二次拡大の塔）すべての合併である[4]。

例

• 実数体 R の二次閉包は複素数体 C である[4]。
• 五元体 F₅ の二次閉包は二次拡大塔 ${\textstyle \mathbb {F} _{5^{2^{n}}}}$ の合併である[4]。
• 有理数体 Q の二次閉包は作図可能数体である。

• Lam, Tsit-Yuen (2005). Introduction to Quadratic Forms over Fields. Graduate Studies in Mathematics. 67. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1095-2. MR2104929. Zbl 1068.11023
• Rajwade, A. R. (1993). Squares. London Mathematical Society Lecture Note Series. 171. Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5. Zbl 0785.11022

• quadratic closure - PlanetMath.（英語）
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), “Quadratically closed field”, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Quadratically_closed_field