双直交系

二重直交系に関して、射影

${\displaystyle P:=\sum _{i\in I}u_{i}\otimes v_{i},\qquad ((u\otimes v)(x):=u\langle v,x\rangle )}$

が得られる。この射影の像は ${\displaystyle \{u_{i}:i\in I\}}$ の線型包であり、その核は ${\displaystyle \{\langle v_{i},\cdot \rangle =0:i\in I\}}$ である。

必ずしも双直交でないベクトルの集合の対 ${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{i})}$ および ${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{i})}$ が与えられたとき、それに関する射影は

${\displaystyle P=\sum _{i,j}u_{i}\left(\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle ^{-1}\right)_{j,i}\otimes v_{j}}$

で与えられる。ここで ${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }$ は成分が ${\displaystyle \left(\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle \right)_{i,j}=\langle v_{i},u_{j}\rangle }$ であるような行列である。

• このとき、${\displaystyle {\tilde {u}}_{i}:=(I-P)u_{i}}$ および ${\displaystyle {\tilde {v}}_{i}:=\left(I-P\right)^{*}v_{i}}$ は双直交系を成す。

• 双対空間
• 双対ペア
• 直交性
• 直交化

• Jean Dieudonné, On biorthogonal systems Michigan Math. J. 2 (1953), no. 1, 7–20