代数的内部

数学の一分野である函数解析学において、ベクトル空間の部分集合の代数的内部（だいすうてきないぶ、英: algebraic interior）あるいは動径核（radial kernel）は、集合の内部を細緻化する概念である。与えられた集合の代数的内部とは、その集合に属する点であって、その点を原点としてもとの集合が併呑となるような点、すなわちその集合の動径点[1]の全体である。代数的内部の元は、しばしば（代数的）内点（internal points）と呼ばれる[2][3]。

具体的に、 $X$ が線型空間であるとき、 $A\subseteq X$ の代数的内部は次で定義される。

\operatorname {core} (A):=\left\{x_{0}\in A:\forall x\in X,\,\exists t_{x}>0,\,\forall t\in [0,t_{x}],\,x_{0}+tx\in A\right\}.

[4]

一般に $\operatorname {core} (A)\neq \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))$ であることに注意されたい。しかし $A$ が凸集合であるなら、 $\operatorname {core} (A)=\operatorname {core} (\operatorname {core} (A))$ である。また $A$ が凸集合であるときは、 $x_{0}\in \operatorname {core} (A),y\in A,0<\lambda \leq 1$ に対して $\lambda x_{0}+(1-\lambda )y\in \operatorname {core} (A)$ が成立する。

例

$A\subset \mathbb {R} ^{2}$ が $A=\{x\in \mathbb {R} ^{2}:x_{2}\geq x_{1}^{2}{\text{ or }}x_{2}\leq 0\}$ で与えられるなら、 $0\in \operatorname {core} (A)$ である。しかし、 $0\not \in \operatorname {int} (A)$ および $0\not \in \operatorname {core} (\operatorname {core} (A))$ である。

性質

$A,B\subset X$ であるなら、次が成り立つ。

$A$ が併呑集合であるための必要十分条件は、 $0\in \operatorname {core} (A)$ である[1]。
$A+\operatorname {core} B\subset \operatorname {core} (A+B)$ [5]
$B=\operatorname {core} B$ [5] であるなら、 $A+\operatorname {core} B=\operatorname {core} (A+B)$ である[5]。

内部との関係

$X$ を線型位相空間とし、 $\operatorname {int}$ を内部作用素とし、 $A\subset X$ とする。このとき次が成り立つ：

$\operatorname {int} A\subseteq \operatorname {core} A$
$A$ が空でない凸集合で、 $X$ が有限次元であるなら、 $\operatorname {int} A=\operatorname {core} A$ である[2]。
$A$ が凸集合で、その内部が空でないなら、 $\operatorname {int} A=\operatorname {core} A$ である[6]。
$A$ が閉凸集合で、 $X$ が完備距離空間であるなら、 $\operatorname {int} A=\operatorname {core} A$ である[7]。

脚注

Jaschke, Stefan; Kuchler, Uwe (2000). Coherent Risk Measures, Valuation Bounds, and ( $\mu ,\rho$ )-Portfolio Optimization.
Aliprantis, C.D.; Border, K.C. (2007). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (3 ed.). Springer. pp. 199–200. doi:10.1007/3-540-29587-9. ISBN 978-3-540-32696-0
John Cook (1988年5月21日). “Separation of Convex Sets in Linear Topological Spaces” (pdf). 2015年5月26日閲覧。
Nikolaĭ Kapitonovich Nikolʹskiĭ (1992). Functional analysis I: linear functional analysis. Springer. ISBN 978-3-540-50584-6
Zălinescu, C. (2002). Convex analysis in general vector spaces. River Edge, NJ,: World Scientific Publishing Co., Inc. pp. 2–3. ISBN 981-238-067-1. MR 1921556
Shmuel Kantorovitz (2003). Introduction to Modern Analysis. Oxford University Press. p. 134. ISBN 9780198526568
Bonnans, J. Frederic; Shapiro, Alexander (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer series in operations research, Springer, Remark 2.73, p. 56, ISBN 9780387987057.

代数的内部

例

性質

内部との関係

脚注

関連項目