位相的エントロピー

アドラー=クロンハイム=マカンドルーによるコンパクト離散力学系に対する位相的エントロピーの定義を与える。

${\displaystyle (X,f)}$をコンパクト離散力学系とせよ。 すなわち、${\displaystyle X}$はコンパクト位相空間であり、${\displaystyle f\colon X\to X}$は連続写像である。

まずは準備として、開被覆についての記号を導入する。 ${\displaystyle \alpha }$と${\displaystyle \beta }$を${\displaystyle X}$の開被覆とせよ。 このとき、${\displaystyle \alpha }$と${\displaystyle \beta }$の共通細分${\displaystyle \alpha \vee \beta }$を

${\displaystyle \alpha \vee \beta$ :=\{A\cap B\mid A\in \alpha ,B\in \beta \}}

により定義する。 また、

${\displaystyle f^{-1}(\alpha ):=\{f^{-1}(A)\mid A\in \alpha \}}$

も${\displaystyle X}$の開被覆である。

さて、位相的エントロピーを定義しよう。

${\displaystyle \alpha }$を${\displaystyle X}$の開被覆とせよ。 ${\displaystyle \alpha }$の有限部分被覆の濃度の最小値を、${\displaystyle N(\alpha )}$とする。 このとき、開被覆${\displaystyle \alpha }$のエントロピーを

${\displaystyle H(\alpha ):=\log _{2}N(\alpha )}$

により定義する。

また、極限

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}H(\alpha \vee f^{-1}(\alpha )\vee \cdots \vee f^{-(n-1)}(\alpha ))}$

は常に存在する。 この極限値を開被覆${\displaystyle \alpha }$に関する連続写像${\displaystyle f}$のエントロピーと呼び、${\displaystyle h(f,\alpha )}$と表す。

このとき、コンパクト離散力学系${\displaystyle (X,f)}$の位相的エントロピー${\displaystyle h(f)}$を

${\displaystyle h(f):=\sup _{\alpha }h(f,\alpha )}$

により定義する。 ただし、上限は開被覆の全体で考える。

1. R.L. Adler, A.G. Konheim, M.H. McAndrew, Topological Entropy, Transactions of the American Mathematical Society 114 (1965) 309-319