位相群の直和

数学において位相群 $G$ が二つの部分群 $H 1, H 2$ の位相的直和 (topological direct sum[1]) であるとは、写像

{\begin{aligned}H_{1}\times H_{2}&\longrightarrow G\\(h_{1},h_{2})&\longmapsto h_{1}h_{2}\end{aligned}}

が位相群の同型であるときに言う。より一般に、 $G$ がその部分群の有限族 $H i (i = 1, \dots, n)$ の（位相的）直和であることは、位相群の同型

{\begin{aligned}\prod _{i=1}^{n}H_{i}&\longrightarrow G\\(h_{i})_{i\in I}&\longmapsto h_{1}h_{2}\cdots h_{n}\end{aligned}}

の存在によって定められる。

注: 位相群 $G$ がその部分群族 $H i$ の位相的直和となるならば、 $G$ は特に抽象群として（つまり位相を考えない意味で） $G$ の部分群族 $H i$ の通常の直和ともなっていることに注意すべきである。

位相的直和因子

与えられた位相群 $G$ に対し、その部分群 $H$ が $G$ の位相的直和因子 (topological direct summand) であるとは、適当な部分群 $K \leq G$ を選んで $G$ が部分群 $H, K$ の直和となるようにできることを言う。)

部分群 $H$ が $G$ の位相的直和因子であるための必要十分条件は、位相群の拡大

0\to H{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}G/H\to 0

が分裂することである（このとき、 $H$ は $G$ から位相的に分裂する (split topologically from $G$ ) と言う）。ここに、 $i$ は自然な埋め込み、 $π$ は自然な射影である。

$G$ が単位円 $T$ を部分群として含む局所コンパクトアーベル群であるとき、 $T$ は $G$ の位相的直和因子である。同様の主張が実数直線 $R$ に関しても成り立つ[2]。

Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1979), Abstract Harmonic Analysis I: Structure of topological groups, integration theory, group representations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 115 (2nd ed.), Berlin: Springer, MR 0551496 (81k:43001)
Armacost, David L. (1981), The structure of locally compact abelian groups., Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 68, New York: Marcel Dekker, Inc., pp. vii+154, ISBN 0-8247-1507-1, MR 0637201 (83h:22010)

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