トロコイド

r_d/r_m = 5/4のトロコイド

r_d/r_m = 4/5のトロコイド

トロコイド (r_m = 1, −2π ≤ θ ≤ 2π, r_d=1/5（マゼンタ）, 1/2（黄）, 1（緑）, 2（赤）, 3（青）)

動円の半径を r_m、回転角を θ、描画点の半径を r_d とすると、トロコイドの媒介変数表示は

${\displaystyle {\begin{cases}x=r_{m}\theta -r_{d}\sin \theta ,\\y=r_{m}-r_{d}\cos \theta ,\end{cases}}}$

によって表される曲線である。

r_m < r_d のとき、1回の回転でx軸と2回交わる。 r_m = r_d のとき、1回の回転でx軸と1回接し、曲線はサイクロイドとなる。 r_m > r_d のとき、x軸と交わらない。

図は r_c = 3, r_m = 1, r_d = 1/2 の外トロコイド

定円の半径を r_c、動円の半径を r_m、回転角を θ、描画点の半径を r_d とすると、外トロコイドの媒介変数表示は

${\displaystyle {\begin{cases}x=(r_{c}+r_{m})\cos \theta -r_{d}\cos \left({\cfrac {r_{c}+r_{m}}{r_{m}}}\theta \right),\\y=(r_{c}+r_{m})\sin \theta -r_{d}\sin \left({\cfrac {r_{c}+r_{m}}{r_{m}}}\theta \right),\end{cases}}}$

によって表される曲線である。エピトロコイド (epitrochoid) とも呼ばれる。r_d = r_m のとき外サイクロイドとなる。

図は r_c = 5, r_m = 3, r_d = 5 の内トロコイド

楕円は内トロコイドの特殊な場合として表される。図は r_c = 10, r_m = 5, r_d = 1 の場合。

定円の半径を r_c、動円の半径を r_m、回転角を θ、描画点の半径を r_d とすると、内トロコイドの媒介変数表示は

${\displaystyle {\begin{cases}x=(r_{c}-r_{m})\cos \theta +r_{d}\cos \left({\cfrac {r_{c}-r_{m}}{r_{m}}}\theta \right),\\y=(r_{c}-r_{m})\sin \theta -r_{d}\sin \left({\cfrac {r_{c}-r_{m}}{r_{m}}}\theta \right),\end{cases}}}$

によって表される曲線である。ハイポトロコイド (hypotrochoid) とも呼ばれる。r_d = r_m のとき内サイクロイドとなる。また特に r_c = 2r_m のとき、描画点の軌跡は楕円を描く。

• 田端毅; 讃岐勝; 礒田正美 著、礒田正美; Maria G. Bartolini Bussi 編『曲線の事典 性質・歴史・作図法』共立出版、2009年12月。ISBN 978-4-320-01907-2。

• サイクロイド：r_m = r_d のトロコイド
• カージオイド：r_m = r_d=r_c の外トロコイド
• スピログラフ：内トロコイド・外トロコイドを書く玩具
• ロータリーエンジン

• 『トロコイド』 - コトバンク
• Weisstein, Eric W. "Trochoid". mathworld.wolfram.com (英語).
• “Cicloides y Trocoides”. 2009年12月12日時点のオリジナルよりアーカイブ。2017年7月8日閲覧。