切断冪関数

数学における冪指数 $n$ の切断冪関数（せつだんべきかんすう、英: truncated power function）は

x_{+}^{n}:={\begin{cases}x^{n}&\ (x>0),\\0&\ (x\leq 0)\end{cases}}

で定義される[1]。特に $n = 1$ のとき

x_{+}:={\begin{cases}x&\ (x>0),\\0&\ (x\leq 0)\end{cases}}

ゆえ、切断冪函数の冪指数 $n$ は通常の冪として理解できる。

例

指数 0 の切断冪函数は単位ステップ関数:
$x_{+}^{0}={\begin{cases}1&\ (x>0),\\0&\ (x\leq 0).\end{cases}}$

ランプ関数

指数 1 の切断冪函数はランプ関数:
$x_{+}^{1}={\begin{cases}x&\ (x>0),\\0&\ (x\leq 0).\end{cases}}$

性質

切断冪関数はBスプラインに使われる。n乗の切断冪関数がn次Bスプラインで使われる。
$\chi _{[a,b)}(x)=(b-x)_{+}^{0}-(a-x)_{+}^{0}$ 。ただし、 $\chi$ は指示関数。
切断冪函数は細分可能である。

参考文献

Massopust, Peter (2010). Interpolation and Approximation with Splines and Fractals. Oxford University Press, USA. p. 46. ISBN 0-19-533654-2

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Truncated Power Function". mathworld.wolfram.com (英語).

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