初等関数

初等関数の不定積分や初等関数を用いた微分方程式の解などは一般に初等関数にはならない[4]。例えば、次の二つの不定積分

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)=\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}},\\g(x)=\int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{4}}}}\end{aligned}}}$

は似た形であるにもかかわらず、f (x) は初等関数の範囲で解けて Arcsin x + C となるが、g (x) は初等関数の範囲では解けない。 g (x) は、特殊関数である楕円積分を用いて F(Arcsin x, −1) + C と表示される。

初等関数の逆関数は必ずしも初等関数になるとは限らない（例えばランベルトのW関数）。