加加加速度

${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}}$

${\displaystyle \mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}}$

${\displaystyle \mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}}$

位置ベクトルの1階微分、2階微分、3階微分に対するこれらの名前（速度、加速度、加加速度）は一般的にも幅広く使用されている[1]。

これらの高次元単位は同様の方法で計算可能であり、研究におけるベクトル量の時間変位の近似を改善することができる。

英語圏では「Snap」と呼ばれている。特に加加加速度が定数sの場合には、以下の式が成り立つ[1][2]。

$${\displaystyle {\vec {s}}={\frac {d\,{\vec {\jmath }}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {a}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {v}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {r}}}{dt^{4}}}}$$

$${\displaystyle {\vec {\jmath }}={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}t,}$$

$${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {s}}t^{2},}$$

$${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {s}}t^{3},}$$

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}t+{\frac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}t^{2}+{\frac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}t^{3}+{\frac {1}{24}}{\vec {s}}t^{4},}$

ここで

${\displaystyle {\vec {s}}}$ は加加加速度,

${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$ は初加加速度（初躍度）,

${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ は加加速度（躍度）,

${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$ は初加速度,

${\displaystyle {\vec {a}}}$ は加速度,

${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$ は初速度,

${\displaystyle {\vec {v}}}$ は速度,

${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$ は初期位置,

${\displaystyle {\vec {r}}}$ は位置,

${\displaystyle t}$ は時間。

加加加速度の表記 ${\displaystyle {\vec {s}}}$ (ヴィザーらが論文の中で用いた表記[2]）は、一般に同じ表記が用いられる変位ベクトルと同じ表記であるため、混同しないよう注意を要する。

加加加速度の次元は、L/T⁴である。国際単位系では、m/s⁴、あるいはm・s^-4が用いられ、CGS単位系では100G/s²もしくは100G・s⁻²に等しい。

Crackle(単位)は位置ベクトルを時間で5段階微分した、加加加速度の時間あたりの変化度である。定数c、時間を定数tと置くと次の式が成立する[1][2]。

${\displaystyle {\vec {c}}={\frac {d{\vec {s}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {\jmath }}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {a}}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {v}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {r}}}{dt^{5}}}}$

${\displaystyle {\vec {s}}={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}\,t}$

${\displaystyle {\vec {\jmath }}={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}\,t^{2}}$

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}\,t^{3}}$

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}\,t^{4}}$

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}\,t^{5}}$

このとき、

${\displaystyle {\vec {c}}}$ :Crackle

${\displaystyle {\vec {s}}_{0}}$:初加加加速度

${\displaystyle {\vec {s}}}$ :加加加速度

${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$ :初加加速度（初躍度）

${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$ :加加速度（躍度）

${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$:初加速度

${\displaystyle {\vec {a}}}$: ,加速度

${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$: 初速度

${\displaystyle {\vec {v}}}$: 速度

${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$: 初期位置

${\displaystyle {\vec {r}}}$: 位置

${\displaystyle t}$: 時間

この単位の変化度の次元は、L/T⁻⁵と表せる。これは 1m/s⁵ （メートル毎秒毎秒毎秒毎秒毎秒）または100 G/s³（100ガル毎秒毎秒毎秒）と書かれる。

Pop（単位）は位置ベクトルを時間で6段階微分した単位である。加加加速度/時間²が定数pと時間を定数tとおいた場合、下の等式が成り立つ[1][2]。

${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {d{\vec {c}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {s}}}{dt^{2}}}={\frac {d^{3}{\vec {\jmath }}}{dt^{3}}}={\frac {d^{4}{\vec {a}}}{dt^{4}}}={\frac {d^{5}{\vec {v}}}{dt^{5}}}={\frac {d^{6}{\vec {r}}}{dt^{6}}}}$

${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {c}}_{0}+{\vec {p}}\,t}$

${\displaystyle {\vec {s}}={\vec {s}}_{0}+{\vec {c}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {p}}\,t^{2}}$

${\displaystyle {\vec {\jmath }}={\vec {\jmath }}_{0}+{\vec {s}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {c}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {p}}\,t^{3}}$

${\displaystyle {\vec {a}}={\vec {a}}_{0}+{\vec {\jmath }}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {s}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {c}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {p}}\,t^{4}}$

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{0}+{\vec {a}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {s}}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {c}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {p}}\,t^{5}}$

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}_{0}+{\vec {v}}_{0}\,t+{\tfrac {1}{2}}{\vec {a}}_{0}\,t^{2}+{\tfrac {1}{6}}{\vec {\jmath }}_{0}\,t^{3}+{\tfrac {1}{24}}{\vec {s}}_{0}\,t^{4}+{\tfrac {1}{120}}{\vec {c}}_{0}\,t^{5}+{\tfrac {1}{720}}{\vec {p}}\,t^{6}}$

このとき

${\displaystyle {\vec {p}}}$: pop

${\displaystyle {\vec {c}}_{0}}$: Crackleの初期値

${\displaystyle {\vec {c}}}$: Crackle

${\displaystyle {\vec {s}}_{0}}$: 初加加加速度

${\displaystyle {\vec {s}}}$: 加加加速度

${\displaystyle {\vec {\jmath }}_{0}}$: 初加加速度（初躍度）

${\displaystyle {\vec {\jmath }}}$: 加加速度（躍度）

${\displaystyle {\vec {a}}_{0}}$: 初加速度

${\displaystyle {\vec {a}}}$: 加速度

${\displaystyle {\vec {v}}_{0}}$: 初速度

${\displaystyle {\vec {v}}}$: 速度

${\displaystyle {\vec {r}}_{0}}$: 初期位置

${\displaystyle {\vec {r}}}$: 位置

${\displaystyle t}$: 時間

popの次元はLT⁻⁶。単位は1m/s⁶、もしくは100G/s⁴である。

Lock（ロック）は位置ベクトルを時間で7段階微分した単位。

次元はLT⁻⁷。単位は1m/s⁷、もしくは100G/s⁵である。

Drop（ドロップ）は位置ベクトルを時間で8段階微分した単位。

次元はLT⁻⁸。単位は1m/s⁸、もしくは100G/s⁶である。

Shot（ショット）は位置ベクトルを時間で9段階微分した単位。

次元はLT⁻⁹。単位は1m/s⁹、もしくは100G/s⁷である。

Put（プット）は位置ベクトルを時間で10段階微分した単位。

Putの次元はLT⁻¹⁰。単位は1m/s¹⁰、もしくは100G/s⁸である。