変位

変位の記述には二つの方法がある。一つは物質表示やラグランジュ表示と呼ばれ、基準配置における位置ベクトル X を用いて物理量を表す方法である。物質表示の際に参照される座標系を物質座標系と呼ぶ。もう一つは、空間表示やオイラー表示と呼ばれ、現在配置における位置ベクトル x を用いて物理量を表す方法である。空間表示の際に参照される座標系を空間座標系と呼ぶ。連続体力学#連続体の記述方法も参照のこと。

基準配置と現在配置における物質点 P の位置を関連付けるベクトルを変位ベクトルと呼び、物質表示では ${\displaystyle \ {\boldsymbol {u}}(\mathbf {X} ,t)=u_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}}$ 、空間表示では ${\displaystyle \ {\boldsymbol {U}}(\mathbf {x} ,t)=U_{i}{\boldsymbol {E}}_{i}}$ と記述される。

変位場は物体の全ての物質点、全ての変位ベクトルのベクトル場であり、基準配置と現在配置を関連付ける。一般に、変位場は物質表示によって以下のように記述される。

${\displaystyle \ {\boldsymbol {u}}(\mathbf {X} ,t)={\boldsymbol {b}}({\boldsymbol {X}},t)+{\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {X}},t)-{\boldsymbol {X}}\qquad }$ または、 ${\displaystyle \qquad u_{i}=\alpha _{iJ}b_{J}+x_{i}-\alpha _{iJ}X_{J}}$

また、空間表示では以下のようになる。

${\displaystyle \ {\boldsymbol {U}}(\mathbf {x} ,t)={\boldsymbol {b}}({\boldsymbol {x}},t)+{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {x}},t)\qquad }$ または、 ${\displaystyle \qquad U_{J}=b_{J}+\alpha _{Ji}x_{i}-X_{J}\,}$

ここで、 ${\displaystyle \ \alpha _{Ji}}$ は、物質座標系の基底 ${\displaystyle {\boldsymbol {e}}_{i}}$ と空間座標系の基底 ${\displaystyle {\boldsymbol {E}}_{J}}$ の方向余弦であり、以下の関係が成り立つ。

${\displaystyle \ {\boldsymbol {E}}_{J}\cdot {\boldsymbol {e}}_{i}=\alpha _{Ji}=\alpha _{iJ}}$

また、${\displaystyle \ u_{i}}$ と ${\displaystyle \ U_{J}}$ の関係は以下のようになる。

${\displaystyle \ u_{i}=\alpha _{iJ}U_{J}\qquad }$ または、 ${\displaystyle \qquad U_{J}=\alpha _{Ji}u_{i}}$

また、以下の関係が成り立つ。

${\displaystyle \ {\boldsymbol {e}}_{i}=\alpha _{iJ}{\boldsymbol {E}}_{J},}$

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {X}},t)=u_{i}{\boldsymbol {e}}_{i}=u_{i}(\alpha _{iJ}{\boldsymbol {E}}_{J})=U_{J}{\boldsymbol {E}}_{J}={\boldsymbol {U}}({\boldsymbol {x}},t)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {b}}=0}$ の場合、物質座標系と空間座標系を組み合わせることが一般的であり、それぞれの基底の方向余弦はクロネッカーのデルタとなる。

${\displaystyle \ {\boldsymbol {E}}_{J}\cdot {\boldsymbol {e}}_{i}=\delta _{Ji}=\delta _{iJ}}$

以上より、物質座標系において以下の式が得られる。

${\displaystyle \ {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {X}},t)={\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {X}},t)-{\boldsymbol {X}}\qquad }$ または、 ${\displaystyle \qquad u_{i}=x_{i}-\delta _{iJ}X_{J}=x_{i}-X_{i}}$

また、空間座標系では以下のようになる。

${\displaystyle \ {\boldsymbol {U}}({\boldsymbol {x}},t)={\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {x}},t)\qquad }$ または、 ${\displaystyle \qquad U_{J}=\delta _{Ji}x_{i}-X_{J}=x_{J}-X_{J}}$

物質表示の変位ベクトル

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {X}},t)={\boldsymbol {x}}({\boldsymbol {X}},t)-{\boldsymbol {X}}}$

を物質座標X で偏微分して得られるテンソルは、物質変位勾配テンソル ∇_X u または単に変位勾配テンソル[2]と呼ばれる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\boldsymbol {X}}{\boldsymbol {u}}&=\nabla _{\boldsymbol {X}}{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {I}}\\&={\boldsymbol {F}}-{\boldsymbol {I}}\end{aligned}}\qquad }$

または、

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial X_{K}}}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{K}}}-\delta _{iK}}$

ここで、F は変形勾配テンソル、I は恒等テンソルである。

同様に、空間表示の変位ベクトル

${\displaystyle {\boldsymbol {U}}({\boldsymbol {x}},t)={\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {X}}({\boldsymbol {x}},t)}$

を空間座標で偏微分して得られるテンソルは、空間変位勾配テンソル ∇_x U と呼ばれる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\boldsymbol {x}}{\boldsymbol {U}}&={\boldsymbol {I}}-\nabla _{\boldsymbol {x}}{\boldsymbol {X}}\\&={\boldsymbol {I}}-{\boldsymbol {F}}^{-1}\end{aligned}}}$

または、

${\displaystyle {\frac {\partial U_{J}}{\partial x_{k}}}=\delta _{Jk}-{\frac {\partial X_{J}}{\partial x_{k}}}}$

変位勾配テンソルには性質の異なる2つの内容が含まれる。[3][4]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}=\epsilon _{ij}+\omega _{ij},\\&\epsilon _{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right),\quad \omega _{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)\end{aligned}}}$

変位勾配テンソルの対称成分εはひずみと呼ばれ、形状の変化の程度をあらわす量である。一方、反対称成分ωは物体が形状を変化させずに単に回転することを表す。