多変数の微分

n 次元実数ベクトル空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ とは、集合としては

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=\left\{\left.\left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)\ \left|{\begin{matrix}x_{1},\cdots ,{{x}_{n}}\in \mathbb {R} \\\end{matrix}}\right.\right\}\right.}$　　　　　　　　(1-2)

である。つまり n 個の実数 ${\displaystyle {{x}_{1}}\ ,\ \cdots \ ,\ {{x}_{n}}}$ を用いて

${\displaystyle \left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)}$　　(1-3)

の形で表せるもの全てを集めてきたものである。 特に、以下で定まる ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$ を、第 i 標準ベクトルという。

${\displaystyle \mathbf {e} _{1}=\left({\begin{matrix}1\\\vdots \\0\\\end{matrix}}\right),\ \cdots ,\mathbf {e} _{n}=\left({\begin{matrix}0\\\vdots \\1\\\end{matrix}}\right)}$　　　　(1-8)

である。

次に ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ の標準座標系を定義する。${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ に対し、

${\displaystyle {\textit {r}}_{j}(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} \ |\ \mathbf {e} _{j}\rangle }$　　　　(1-6)

とし、これを ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ の第 j 座標関数という。ここで ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ は内積を表す。つまり、

${\displaystyle {\textit {r}}_{j}\left(\left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)\right)=x_{j}}$　　　　(1-7)

である。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 標準座標系とは、${\displaystyle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{n}}$ の組 ${\displaystyle \langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{n}\rangle }$ のことである[4]。当然、

${\displaystyle {\textbf {x}}=\left({\begin{matrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\\\end{matrix}}\right)=\sum \limits _{j=1}^{n}r_{j}(\mathbf {x} ){\textbf {e}}_{j}}$　　　　(1-9)

が成立する。${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ にも、同様に、${\displaystyle \mathbf {e} _{1}\,\cdots ,\mathbf {e} _{m}}$ や、標準座標系 ${\displaystyle \langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{m}\rangle }$ が定まっている。

さて、次節にて、多変数ベクトル値関数を考えるが、定義域側 (${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$) の標準座標系を ${\displaystyle \langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{n}\rangle }$ と表記し、値域側 (${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$) の標準座標系も ${\displaystyle \langle {\textit {r}}_{1},{\textit {r}}_{2},\cdots ,{\textit {r}}_{m}\rangle }$ と表記していては紛らわしいので、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ の標準座標系を ${\displaystyle \langle {\textit {x}}_{1},{\textit {x}}_{2},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle }$と書くことにする。つまり、

${\displaystyle {\begin{aligned}&x_{j}(\mathbf {x} )=r_{j}(\mathbf {x} )\\&y_{i}(\mathbf {y} )=r_{i}(\mathbf {y} )\end{aligned}}}$　　　　(1-10)

とする。[注 1] 以降、「${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ に、標準座標系 ${\displaystyle \rangle x_{1},\cdots ,x_{n}\langle }$ が定まっているとする」と宣言した場合には、式 (1-10) のように考えることにする。

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ に標準座標系 ${\displaystyle \langle {\textit {x}}_{1},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle }$ が定まっているとし、${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ に標準座標系 ${\displaystyle \langle {\textit {y}}_{1},\cdots ,{\textit {y}}_{m}\rangle }$が定まっているとする。

${\displaystyle {\textbf {D}}}$ を ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ の部分集合とし、

${\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)}$　　　　(1-1)

を、${\displaystyle {\textbf {D}}}$ 上で定義された ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ に値を取る多変数ベクトル値関数という。

以降 ${\displaystyle f_{i}}$ は ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ の第 i 成分を表す。${\displaystyle f_{i}}$ は以下の性質を満たす。

${\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} )=y_{i}\circ \mathbf {f} (\mathbf {x} )=y_{i}(\mathbf {f} (\mathbf {x} ))=\langle \mathbf {e} _{i}|\mathbf {f} (\mathbf {x} )\rangle }$　　　　(1-11)

${\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)=\sum \limits _{i=1}^{m}f_{i}(\mathbf {x} )\mathbf {e} _{i}}$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ に、標準座標系 ${\displaystyle \langle {\textit {x}}_{1},\cdots ,{\textit {x}}_{n}\rangle }$ が定まっているとし、${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ に、標準座標系 ${\displaystyle \langle {\textit {y}}_{1},\cdots ,{\textit {y}}_{m}\rangle }$ が定まっているとする。 ${\displaystyle {\textbf {D}}}$ を、${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ の開集合とし、

${\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)}$　　　　(1-1)

を、${\displaystyle {\textbf {D}}}$ 上で定義された ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ に値を取る多変数ベクトル値関数とする。 ここで ${\displaystyle {{f}_{i}}}$ は ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ の第 i 成分を表す。

${\displaystyle {\textbf {p}}}$ を ${\displaystyle {\textbf {D}}}$ 内の点とし、${\displaystyle {\textbf {a}}}$ を ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ のベクトルとする（${\displaystyle {\textbf {p}}}$ は ${\displaystyle {\textbf {p}}\in {\textbf {D}}}$ でなければならないが ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ は ${\displaystyle {\textbf {a}}\notin {\textbf {D}}}$であってよい）。

${\displaystyle {\textbf {p}}}$, ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ は固定されているものとする。

このとき、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ が ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ について偏微分可能であるとは、以下の極限値

${\displaystyle {\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\,\,\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}}$　　　　(1-4)

が存在することを意味する。

このとき ${\displaystyle {\textbf {f}}}$の${\displaystyle {\textbf {p}}}$における、${\displaystyle {\textbf {a}}}$ について偏微分商、 ${\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}\mathbf {f} \right|}_{[\mathbf {p} ]}}$ を、以下のように定義する[注 2]。

${\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}\mathbf {f} \right|}_{[\mathbf {p} ]}\ =\ {\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\,\,\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}}$　　　(1-5)

${\displaystyle {\textbf {f}}}$ の第 i 成分 ${\displaystyle {f}_{i}}$ は以下の等式を満たす。

${\displaystyle f_{i}(\mathbf {x} )=y_{i}\circ \mathbf {f} (\mathbf {x} )=\langle \mathbf {e} _{i}\ |\ \mathbf {f} (\mathbf {x} )\rangle }$　　　　(1-11)

上式において ${\displaystyle \langle \cdot |\cdot \rangle }$ は内積を意味する。

式 (1-10), (1-11) を用いて、${\displaystyle {f}_{i}}$ を（(1-5) の定義式通りに）${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ について偏微分することを考える。 ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ が ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ について偏微分可能ならば、${\displaystyle f_{i}}$ は ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ について偏微分可能で、

${\displaystyle {\begin{aligned}{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{i}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&={\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\,\,{f}_{i}(\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-{f}_{i}(\mathbf {p} )}{t}}\\&={\textbf {e}}_{i}\cdot \left({\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,\left({\frac {\,\,\mathbf {f} (\mathbf {p} +t\mathbf {a} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}\right)\right)\\&={}^{t}{\textbf {e}}_{i}\cdot {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&={\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\cdot {\textbf {e}}_{i}\end{aligned}}}$　　　　(1-12)

が成立する。

逆に、式(1-1)より、

${\displaystyle \mathbf {f} (x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\begin{matrix}f_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\vdots \\f_{m}(x_{1},\dots ,x_{n})\\\end{matrix}}\right)=\sum \limits _{i=1}^{m}f_{i}(\mathbf {x} )\mathbf {e} _{i}}$　　　　(1-13)

なので、${\displaystyle f_{1},\cdots ,f_{m}}$ すべてが ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ について偏微分可能であれば、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ も微分可能で、

${\displaystyle {{\left.{{\partial }_{[\mathbf {a} ]}}\mathbf {f} \right|}_{[\mathbf {p} ]}}=\left({\begin{matrix}{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{1}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\vdots \\{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{m}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\end{matrix}}\right)}$　　(1-14)

が成立する。これは式 (1-13) の両辺に、式 (1-5) の右辺の極限をとれば証明できる。

(1-6) の各成分、つまり ${\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{i}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}$ は、それぞれ、(1-15) に示す t についての一変数スカラー値関数

${\displaystyle f_{i}{}^{\circ }l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}(t)=f_{i}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )}$　　　　　　(1-15)

を、t = 0 において（一変数スカラー値意味で）微分したものである。つまり、

${\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}f_{i}\right|}_{[\mathbf {p} ]}={\left.{\frac {d(f_{i}{}^{\circ }l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]})}{dt}}\right|}_{t=0}={\left.{\frac {df_{i}(t\mathbf {a} +\mathbf {x} _{0})}{dt}}\right|}_{t=0}}$　　　　　　(1-16)

である。但し、${\displaystyle l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}}$ は、

${\displaystyle l_{[\mathbf {a} ,\mathbf {p} ]}(t)=t\mathbf {a} +\mathbf {p} }$　　(1-17)

で定まる ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ の直線である。 また、後述の合成写像の微分法則 (3-7) を用いると (1-16) の計算はさらにすすめられる。この結果は第三節で後述する。

${\displaystyle {\textbf {f}}}$ の点 ${\displaystyle \mathbf {p} }$ における「（${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$の） ベクトル ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$」に対する偏微分商、即ち ${\displaystyle \partial _{[\mathbf {e} _{j}]}\mathbf {f} [\mathbf {p} ]}$ を、 ${\displaystyle {\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}$ と書く。 即ち、

${\displaystyle {\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}=\partial _{[\mathbf {e} _{j}]}\mathbf {f} [\mathbf {p} ]={\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {e} _{i}+\mathbf {p} )-{\textbf {f}}(\mathbf {p} )}{t}}}$ (1-18)

と表記する。

また、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ の第 i 成分、つまり ${\displaystyle {{f}_{i}}}$ の点 ${\displaystyle \mathbf {p} }$ における「（${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ の）ベクトル ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$」に対する偏微分商 ${\displaystyle \partial _{[\mathbf {e} _{j}]}f_{i}[\mathbf {p} ]}$ を、${\displaystyle {\left.{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}$ と表記する。

ここで、${\displaystyle {\textbf {e}}_{1}\,\cdots ,{\textbf {e}}_{n}}$ は、それぞれ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 標準基底であり、${\displaystyle {\textbf {e}}_{j}}$ は、第 j 標準ベクトルを意味する。

${\displaystyle {\textbf {f}}}$ が ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ において、${\displaystyle {\textbf {e}}_{1}\,\cdots ,{\textbf {e}}_{n}}$ 全てに対して偏微分可能であるとき、

${\displaystyle {(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}=\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&\vdots &\\{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\end{matrix}}\right)}$　　　　(1-20)

を ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ の ${\displaystyle \mathbf {p} }$ におけるヤコビ行列という。

${\displaystyle {\textbf {D}}}$ を ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ の開集合とし、

${\displaystyle {\textbf {f}}(\mathbf {x} )=\left({\begin{matrix}f_{1}(\mathbf {x} )\\\vdots \\f_{m}(\mathbf {x} )\\\end{matrix}}\right)}$　　　　(2-1)

を、${\displaystyle {\textbf {D}}}$ 上で定義された ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ に値を取る多変数ベクトル値関数とする。

${\displaystyle {\textbf {p}}}$ を ${\displaystyle {\textbf {D}}}$ 内の点とする（つまり ${\displaystyle {\textbf {p}}\in {\textbf {D}}}$）。このとき、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ が ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で微分可能であるとは、

${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\left({\frac {\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\left(\mathbf {A} (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)=0}$　　　　(2-2)

を充たす ${\displaystyle n\times m}$ 行列 ${\displaystyle {\textbf {A}}}$ が存在することを意味する。この ${\displaystyle {\textbf {A}}}$ を、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ の ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ における微分という。

${\displaystyle {\textbf {x}}-{\textbf {p}}={\textbf {h}}}$ とおくと、次のようにも表せる。

${\displaystyle \quad \ \displaystyle \lim _{{\textbf {h}}\to {\textbf {0}}}{\dfrac {\|f({\textbf {p}}+{\textbf {h}})-f({\textbf {p}})-A{\textbf {h}}\|}{||{\textbf {h}}||}}=0}$

${\displaystyle {\textbf {f}}}$ が ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で微分可能であるとき、(2-2) を満たす ${\displaystyle n\times m}$ 行列はひとつしか存在しない。つまり、${\displaystyle n\times m}$ 行列 ${\displaystyle {\textbf {B}}}$ が、

${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,\left({\frac {\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\left(\mathbf {B} (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)=0}$　　　　(2-3)

を満たすとすると、

${\displaystyle {\textbf {A}}={\textbf {B}}}$　　　　(2-4)

が成立する。

${\displaystyle {\textbf {f}}}$ が ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で微分可能であるとき、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ は ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で任意のベクトル ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ に対して偏微分可能である。実際、

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {\mathbf {f} (t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )}{t}}\right)-\mathbf {A} \cdot \mathbf {a} \\&=\,\left({\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-\left(\mathbf {A} \cdot \left(\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right)+{\textbf {f}}(\mathbf {p} )\right)}{\left\|\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right\|}}\right)\left\|\mathbf {a} \right\|\end{aligned}}}$　　(2-5)

ここで、

${\displaystyle \,{\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,\left({\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-\left(\mathbf {A} \cdot \left(\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right)+{\textbf {f}}(\mathbf {p} )\right)}{\left\|\left(t\mathbf {a} +\mathbf {p} \right)-\mathbf {p} \right\|}}\right)}$　　　　(2-6)

は、(2-2) に ${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {p} +t\mathbf {a} }$ を代入したに過ぎないため（従って (2-2) の特別な場合に過ぎない）、(2-5) の両辺の ${\displaystyle t\to 0}$ 極限は 0 となる。従って、

${\displaystyle {\underset {t\to 0}{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,\,{\frac {{\textbf {f}}(t\mathbf {a} +\mathbf {p} )-{\textbf {f}}(\mathbf {p} )}{t}}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {a} }$　　　　(2-7)

となる。以上より ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ が ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で微分可能であるとき、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ は ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ の任意のベクトル ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ に対して偏微分可能であることが示された。

式 (1-5), (2-6) から、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ が ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で微分可能ならば

${\displaystyle {\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {a} }$　　　　(2-8)

であることが分かる。

式 (1-2-8) に ${\displaystyle {\textbf {e}}_{1}\,\cdots ,{\textbf {e}}_{n}}$ を代入すると、

${\displaystyle {\left.{\frac {\partial {\textbf {f}}}{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {e} _{j}}$　　　　(2-9)

である。従って ${\displaystyle {\textbf {f}}}$の ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ での微分 ${\displaystyle {\textbf {A}}}$ の第 j 列は、

${\displaystyle {{\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial {{x}_{j}}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}}$　　　　(2-10)

第 i , j 成分は

${\displaystyle {\left.{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}}$　　　　(2-11)

となる。従って、

${\displaystyle \mathbf {A} =\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial \mathbf {f} }{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&\vdots &\\{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\\end{matrix}}\right)={{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}}$　　　　(2-12)

となる。

「誤差項」の導入を行う。 ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ と ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ に対し、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ の ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ における誤差項（ランダウの記号）${\displaystyle {\textbf {o}}_{[{\textbf {f}},{\textbf {p}}]}}$ を

${\displaystyle \mathbf {o} _{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}(\mathbf {x} )=\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\left({(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right)}$　　　　(2-13)

によって定める。

${\displaystyle {\underset {{\textbf {x}}\to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}=\mathbf {0} }$　　　　(2-14)

${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}(\mathbf {x} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}=\mathbf {0} }$　　　　(2-15)

であることが分かる。

(2-14) は、以下の恒等式

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )={(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )+{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}(\mathbf {x} )}$　　　　(2-16)

の ${\displaystyle {\textbf {x}}}$ に ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ を代入すれば直ちに得られる。 (2-16) の恒等式ことを、本記事では ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ の点 ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ における一次展開ということにする。 (2-15) 式は、(2-2) 式に (2-13) 式を代入したに過ぎないが、${\displaystyle {\textbf {o}}_{[{\textbf {f}},{\textbf {p}}]}}$ が一次の微小量であることを意味しており、思想的には重要である。

(2-16) 式と (2-13) 式を見比べると、ヤコビ行列は ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ の一次近似を表していると見ることができる。 つまり、点 ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ の近傍で ${\displaystyle {\textbf {f}}}$ は

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )\simeq \mathbf {f} (\mathbf {p} )+{{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}(\mathbf {p} )(\mathbf {x} -\mathbf {p} )}$　　　　(2-17)

とみなせることが分かる。

式 (2-8) から、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ が ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で微分可能であるとき、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ は ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ において ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ の任意のベクトル ${\displaystyle {\textbf {a}}}$, ${\displaystyle {\textbf {b}}}$ と、任意の実数 ${\displaystyle \lambda ,\mu }$ に対して、

${\displaystyle {\left.\partial _{\left[\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} \right]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {x} ]}=\lambda \left({\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {x} ]}\right)+\mu \left({\left.\partial _{[\mathbf {b} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {x} ]}\right)}$　　　　(3-1)

が成立することが分かる。実際 (2-8) および行列の積の線型性から、

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\left.\partial _{[\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}={(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}(\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {b} )&=\lambda {(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}(\mathbf {a} )+\mu {(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}(\mathbf {b} )&=\lambda \left({\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\right)+\mu \left({\left.\partial _{[\mathbf {b} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\right)\end{aligned}}}$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-2)

である。

また、(2-8) から、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ が ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で微分可能であるとき、${\displaystyle {\textbf {f}}}$ は ${\displaystyle {\textbf {p}}}$ で ${\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}}$ の任意のベクトル ${\displaystyle {\textbf {a}}}$ に対して、

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\left.\partial _{[\mathbf {a} ]}{\textbf {f}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}={(J{\textbf {f}})}_{[\mathbf {p} ]}\mathbf {a} =\left({\begin{matrix}{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{1}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\\&\ddots &\\{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{1}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}&\cdots &{\left.{\frac {\partial f_{m}}{\partial x_{n}}}\right|}_{[\mathbf {p} ]}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\\\end{matrix}}\right)\\&=\sum \limits _{j=1}^{n}a_{i}\left({\left.{\frac {\partial {\textbf {f}}}{\partial x_{j}}}\right|}_{\mathbf {p} }\right)\end{aligned}}}$ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3-3)

が、成立することがわかる。式 (3-2), (3-3) は、ヤコビ行列の幾何学的な意味を表している。

次に、アフィン写像の微分について説明する。アフィン写像とは、適当な m×n 行列 A と、n 次元代数数ベクトル b を用いて

${\displaystyle T({\textbf {x}})={\textbf {A}}{\textbf {x}}+{\textbf {b}}}$　　(3-4)

の形で具体的な数式として書ける、${\displaystyle {\mathbb {R} ^{n}}}$から${\displaystyle {\mathbb {R} ^{m}}}$への写像のことである。(3-4)のアフィン写像は、任意の点（${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$の点）${\displaystyle {\textbf {p}}}$で微分可能で、任意の点（${\displaystyle {\mathbb {R} }^{n}}$の点）${\displaystyle {\textbf {p}}}$において、

${\displaystyle {{(JT)}_{[\mathbf {p} ]}}={\textbf {A}}}$　　(3-5)

である。逆に、任意の点${\displaystyle {\textbf {p}}}$において　　(3-5)を充たす写像があったとすれば、それはアフィン写像である。

次に、合成写像の微分について説明する。${\displaystyle {\textbf {E}}}$を${\displaystyle {\mathbb {R} ^{m}}}$の開集合とし、${\displaystyle {\textbf {E}}}$は、${\displaystyle {\textbf {f}}}$の値域を含む（つまり、${\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {D}})\subset {\textbf {E}}}$、特に${\displaystyle {\textbf {f}}({\textbf {p}})\in {\textbf {E}}}$とする）とする。多変数ベクトル値関数 ${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {y} )=\left({\begin{matrix}{{g}_{1}}(\mathbf {y} )\\\vdots \\{{g}_{m}}(\mathbf {y} )\\\end{matrix}}\right)}$　　　　(3-6)

は、${\displaystyle {\textbf {E}}}$で定義され、${\displaystyle {{\mathbb {R} }^{l}}}$に値をとるとする。このとき、${\displaystyle \mathbf {g} }$と${\displaystyle {\textbf {f}}}$との合成写像${\displaystyle \mathbf {g} \circ {\textbf {f}}}$は、${\displaystyle {\textbf {D}}}$で定義され、${\displaystyle {{\mathbb {R} }^{l}}}$に値をとる多変数ベクトル値関数である。

${\displaystyle {\textbf {f}}}$が点${\displaystyle {\textbf {p}}}$で微分可能で、${\displaystyle \mathbf {g} }$が、点${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {p} )}$で微分可能であるとき、${\displaystyle \mathbf {g} \circ {\textbf {f}}}$も${\displaystyle {\textbf {p}}}$で微分可能で、

${\displaystyle {{\left(J\left({\textbf {g}}\circ \mathbf {f} \right)\right)}_{[{\textbf {p}}]}}}$=${\displaystyle {{\left(J\mathbf {g} \right)}_{[{\textbf {f}}(\mathbf {p} )]}}}$${\displaystyle \cdot {(J{\textbf {f}})}_{\textbf {p}}}$　　　　(3-7)

ここで“${\displaystyle \cdot }$”とは、行列としての積である。

■証明
${\displaystyle {\textbf {f}}}$を点${\displaystyle {\textbf {p}}}$で一次展開し、 ${\displaystyle {\textbf {g}}}$を点${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {p} )}$で(2-16)同様に一次展開すると、

${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )}$${\displaystyle ={{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {f} (\mathbf {p} )+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )}$　　　　(3-8)

${\displaystyle \mathbf {g} (\mathbf {y} )}$${\displaystyle ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot (\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}({\textbf {f}}(\mathbf {p} ))}$　　　　(3-9)

となるので、

${\displaystyle \mathbf {g} \circ {\textbf {f}}({\textbf {x}})}$ ${\displaystyle =\mathbf {g} ({\textbf {f}}({\textbf {x}}))}$ ${\displaystyle ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot (\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}({\textbf {f}}(\mathbf {p} ))}$

${\displaystyle ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot ({{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} ))}$

${\displaystyle +\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))}$

${\displaystyle ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+{{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )}$${\displaystyle +\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))}$

${\displaystyle ={{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{(J\mathbf {f} )}_{[\mathbf {p} ]}}\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {p} )+\mathbf {g} (\mathbf {f} (\mathbf {p} ))}$ ${\displaystyle +{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )}$ 　　　　(3-10)

である。従って

${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))+{{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\,=0}$　　　　(3-11)

を示すを示せば終証である。

以下(3-11)を示す。

${\displaystyle {\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}}$ ${\displaystyle =\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}\right)}$ ${\displaystyle \,={\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,}$ 　　　　(3-12)

より、 ${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}}$${\displaystyle \,={\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,}$　　　　(3-13)

一方、

${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}}$=${\displaystyle {\underset {\mathbf {f} (\mathbf {x} )\to \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}}$　　　　(3-14)

は、

${\displaystyle {\underset {\mathbf {y} \to \mathbf {f} (\mathbf {p} )}{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {y} -\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}}$　　　　(3-15)

の特殊なケースに過ぎないので、

${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}}=0}$　　　　(3-16)

さらに、

${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\left({\frac {\left\|\mathbf {f} (\mathbf {x} )-\mathbf {f} (\mathbf {p} )\right\|}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,}$　　　　(3-17)

は有限の値であることから、

${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,{\frac {\left({{\mathbf {o} }_{[\mathbf {g} ,\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}(\mathbf {f} (\mathbf {p} ))\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}=0}$　　　　(3-18)

また、

${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\,{\frac {\left({{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}=0}$　　　(3-19)

は、

${\displaystyle {\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,{\frac {\left({{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\cdot {{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )\right)}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}}$${\displaystyle ={\underset {\mathbf {x} \to \mathbf {p} }{\mathop {\lim } }}\,\,\,\left({{(J\mathbf {g} )}_{[\mathbf {f} (\mathbf {p} )]}}\left({\frac {{{\mathbf {o} }_{[\mathbf {f} ,\mathbf {p} ]}}(\mathbf {x} )}{\left\|\mathbf {x} -\mathbf {p} \right\|}}\right)\,\right)}$ 　　　　(3-20)