局所性鋭敏型ハッシュ

局所性鋭敏型ハッシュを行うためのパラメータの集合をLSH族(Locality Sensitive Hashing Family)と呼ぶ。LSH族は距離空間${\displaystyle {\mathcal {M}}=(M,d)}$と閾値${\displaystyle R>0}$、近似因子${\displaystyle c>1}$によって定義される。LSH族[1][2]は2点${\displaystyle p,q\in {\mathcal {M}}}$について次の2つの性質、

• ${\displaystyle d(p,q)\leq R}$ならば${\displaystyle h(p)=h(q)}$となる確率は${\displaystyle P_{1}\,}$以上である。
• ${\displaystyle d(p,q)\geq cR}$ならば${\displaystyle h(p)=h(q)}$となる確率は${\displaystyle P_{2}\,}$以下である。

を満たす関数${\displaystyle h:{\mathcal {M}}\to S}$により与えられる族であり，${\displaystyle h}$は${\displaystyle {\mathcal {F}}}$から一様乱数にしたがって選択される。このとき${\displaystyle d(p,q)}$は2点${\displaystyle p,q}$の距離を表す関数であり、${\displaystyle P_{1}>P_{2}}$となるよう設計する。このような族${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は${\displaystyle (R,cR,P_{1},P_{2})}$に鋭敏であるという。

これに準ずる定義として、領域${\displaystyle U}$における類似度関数${\displaystyle \phi :U\times U\to [0,1]}$によるものがある[3]。局所性鋭敏型ハッシュの性質は、ハッシュ関数の集合${\displaystyle H}$と確率分布${\displaystyle D}$により与えられる。あるハッシュ関数${\displaystyle h}$は集合${\displaystyle H}$から確率分布${\displaystyle D}$により選ばれるが、${\displaystyle D}$とは領域${\displaystyle U}$に存在する2点${\displaystyle a,b}$について、

${\displaystyle Pr_{h\in H}[h(a)=h(b)]=\phi (a,b)}$

を満たすような確率分布である。

1. Gionis, A.; Indyk, P., Motwani, R. (1999). , “Similarity Search in High Dimensions via Hashing”. Proceedings of the 25th Very Large Database (VLDB) Conference. http://people.csail.mit.edu/indyk/vldb99.ps ,.
2. Indyk, Piotr.; Motwani, Rajeev. (1998). , “Approximate Nearest Neighbors: Towards Removing the Curse of Dimensionality.”. Proceedings of 30th Symposium on Theory of Computing. http://people.csail.mit.edu/indyk/nndraft.ps ,.
3. Charikar, Moses S.. (2002). “Similarity Estimation Techniques from Rounding Algorithms”. Proceedings of the 34th Annual ACM Symposium on Theory of Computing 2002: (ACM 1–58113–495–9/02/0005)…. doi:10.1145/509907.509965. http://portal.acm.org/citation.cfm?id=509965 2007年12月21日閲覧。.
4. Datar, M.; Immorlica, N., Indyk, P., Mirrokni, V.S. (2004). “Locality-Sensitive Hashing Scheme Based on p-Stable Distributions”. Proceedings of the Symposium on Computational Geometry. http://theory.csail.mit.edu/~mirrokni/pstable.ps.
5. Pauleve, L.; Jegou, H., Amsaleg, L. (2010). “Locality sensitive hashing: A comparison of hash function types and querying mechanisms”. Pattern recognition Letters. http://hal.inria.fr/inria-00567191/en/.

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