平坦射

平坦射の例は奇跡的平坦性[5]からも得られる。奇跡的平坦性とは、コーエン・マコーレー・スキームから正則スキームへの射 ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ は、ファイバーが等次元であれば平坦であるという定理である。これから簡単に得られる平坦射の例としては、楕円ファイバー空間、滑らかな射、各滑層上で奇跡的平坦性が成り立つ 滑層代数多様体への射などがある。

普遍性を持つスキームの平坦射の例はヒルベルトスキームである。ヒルベルトスキームは平坦射の普遍族のパラメーター空間なので、すべての平坦射はあるヒルベルトスキームからの引き戻しである。つまり、 ${\displaystyle f\colon X\to S}$ を射影空間に閉部分スキームとして埋め込める平坦射とすると、 射 ${\displaystyle S\to {\text{Hilb}}_{S}}$ が存在して X はこの射による普遍族の引き戻しになる。${\displaystyle f}$ は平坦なのでファイバー ${\displaystyle f_{s}\colon X_{s}\to s}$ はすべて同じヒルベルト多項式 ${\displaystyle \Phi }$ を持つので、上記のヒルベルトスキームを ${\displaystyle {\text{Hilb}}_{S}^{\Phi }}$ で置き換えてもよい。

平坦射ではない射の例としてはブローアップ

${\displaystyle \operatorname {Bl} _{I}X\to X}$

がある。簡単な例として、${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$ の1点でのブローアップを考える。 その1点を原点とすると、射は

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}}$, ${\displaystyle x\mapsto x,y\mapsto y}$

で与えられる。点 ${\displaystyle (a,b)\neq (0,0)}$ でのファイバーは ${\displaystyle \mathbb {C} }$ のコピーである。つまり

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x-a,y-b)}}\cong \mathbb {C} }$

ということであるが、これは

${\displaystyle M\otimes _{R}{\frac {R}{I}}\cong {\frac {M}{IM}}}$

からしたがう。しかし原点 ${\displaystyle a=b=0}$ に対しては同型

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y,s,t]}{xt-ys}}\otimes _{\mathbb {C} [x,y]}{\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x,y)}}\cong \mathbb {C} [s,t]}$

が成り立つ。このことと奇跡的平坦性の補題により平坦ではないことが分かる。

平坦射ではない簡単な例は ${\displaystyle k[\varepsilon ]=k[x]/(x^{2})\to k}$ である。このことを見るには

${\displaystyle k\otimes _{k[\varepsilon ]}^{\mathbf {L} }k}$[6]

が無限複体であることを見ればよい。k の平坦分解

${\displaystyle \cdots ~{\xrightarrow {{\overset {}{\cdot }}\varepsilon }}~k[\varepsilon ]~{\xrightarrow {\cdot \varepsilon }}~k[\varepsilon ]{\xrightarrow {\cdot \varepsilon }}k[\varepsilon ]\to k}$

を取り、この分解に k をテンソルして

${\displaystyle k\otimes _{k[\varepsilon ]}^{\mathbf {L} }k\simeq \bigoplus _{i=0}^{\infty }k[+i]}$

であることが分かる。したがって平坦ではない。

• 平坦射の合成は平坦[10]。

• 平坦射のファイバー積は平坦、忠実平坦射のファイバー積は忠実平坦[11]。

• 平坦性と忠実平坦性は基底変換で保たれる。つまり、${\displaystyle g\colon Y'\to Y}$ に対して、f が平坦または忠実平坦ならファイバー積 ${\displaystyle f\times g\colon X\times _{Y}Y'\to Y'}$ もそれぞれ平坦または忠実平坦である[12]。

• （局所的に有限表示の）射が平坦となる点の集合は開集合[13]。

• f が忠実平坦かつ有限表示とする。g f が有限型または有限表示であれば、g もそれぞれ有限型または有限表示である[14]。

${\displaystyle f\colon X\to Y}$ をスキームの平坦射とする。

• F を Y 上の有限表示の準連接層（例えば連接層）とし、J を Y 上の F の零化イデアルとする。このとき、包含写像の引き戻し ${\displaystyle f^{*}J\to {\mathcal {O}}_{X}}$ は単射で ${\displaystyle f^{*}J}$ の ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ における像は X 上の ${\displaystyle f^{*}F}$ の零化イデアルである[15]。

• f が忠実平坦で G を準連接 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}}$ 加群とする。このとき、大域切断の引き戻し写像 ${\displaystyle \Gamma (Y,G)\to \Gamma (X,f^{*}G)}$ は単射である[16]。

${\displaystyle h\colon S'\to S}$ を平坦射とする。X と Y を S スキーム、${\displaystyle X'}$ と ${\displaystyle Y'}$ をこれらの h による基底変換とする。

• ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ が準コンパクトかつ支配的ならば、基底変換 ${\displaystyle f'\colon X'\to Y'}$ も準コンパクトかつ支配的である[17]。

• h が忠実平坦なら、引き戻し写像 ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{S}(X,Y)\to \operatorname {Hom} _{S'}(X',Y')}$ は単射である[18]。

• ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ が準コンパクトかつ準分離的とする。Z を X の閉像とし、${\displaystyle j\colon Z\to Y}$ を標準的単射とする。このとき、基底変換で定義される閉部分スキーム ${\displaystyle j'\colon Z'\to Y'}$ は${\displaystyle X'}$ の閉像である[19]

${\displaystyle f\colon X\to Y}$ が平坦とすると、次がすべて成り立つ。

• X の任意の点 x と y = f (x) の任意の一般化 y′ に対して、x の一般化 x′ で y′ = f (x′) となるものが存在する[20]。

• X の任意の点 x に対して ${\displaystyle f(\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{X,x})=\operatorname {Spec} {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}}$ が成り立つ[21]。

• Y の任意の既約閉部分集合 Y ′ に対して、f ⁻¹(Y ′) の任意の既約成分から Y ′ への射は支配的である[22]。

• Z と Z ′ を Y の2つの既約閉部分集合で Z は Z ′ に含まれているものとする。このとき、f ⁻¹(Z) の任意の既約成分 T に対して f ⁻¹(Z ′) の既約成分 T ′ で T を含むものが存在する[23]。

• X の任意の既約成分 T に対して f (T) の閉包は Y の既約成分である[24]。

• Y が既約で生成点 y の逆像 f ⁻¹(y) が既約であれば X も既約である[25]。

• f が閉であれば、X の任意の連結成分の像は Y の連結成分[26]。

• Y の任意の副構成可能部分集合 Z に対して ${\displaystyle f^{-1}({\bar {Z}})={\overline {f^{-1}(Z)}}}$ が成り立つ[27]。

f が平坦かつ局所的に有限表示であれば、f は普遍的開写像（絶対開ともいう）である[28]。しかし、f が忠実平坦かつ準コンパクトであるとき、仮に X と Y がともにネーターであったとしても、一般には f は開写像にならない[29]。またこれの逆も成り立たない。f を被約スキーム X_red から X への標準的な写像とするとき、f は普遍的同相写像となるが、X が被約ではなくネーターであれば f は決して平坦にはならない[30]。

${\displaystyle f\colon X\to Y}$ が忠実平坦であれば次が成り立つ。

• Y の位相は f についての商位相である[31]。

• f がさらに準コンパクトととし、Z を Y の部分集合とすると、Z が Y の局所的に閉な副構成可能部分集合であるための必要十分条件は f ⁻¹(Z) が X の局所的に閉な副構成可能部分集合であることである[32]。

f が平坦かつ局所的に有限表示とすると、次に挙げる各性質 P に対して f が P である点の集合は開集合である[33]。

• セールの条件 S_k（固定した k に対して）

• 幾何学的に正則

• 幾何学的に正規

さらに f が固有射だったとすると、次に挙げる各性質についても同じことが成り立つ[34]。

• 幾何学的に被約

• 幾何学的に被約かつ k 個の幾何学的連結成分を持つ（固定した k に対して）

• 幾何学的に整

${\displaystyle X}$ と ${\displaystyle Y}$ を局所ネータースキームとし、${\displaystyle f\colon X\to Y}$ を射とする。

• x を X の点、y = f (x) とする。f が平坦であれば、dim_x X = dim_y Y + dim_x f ⁻¹(y) が成り立つ[35]。逆に、すべての x に対してこの等式が成り立ち、X が コーエン・マコーレイ、Y が 正則、そして f が閉点を閉点に写すなら、f は平坦である[36]。

• f が忠実平坦ならば、Y の各閉部分集合 Z に対して codim_Y (Z) = codim_X ( f ⁻¹(Z)) が成り立つ[37]。

• f が平坦、F を Y 上の準連接層とする。F の射影次元が n 以下なら、${\displaystyle f^{*}F}$ の射影次元も n 以下である[38]。

• X の点 x で f が平坦とする。X が x で被約または正規なら、Y も f (x) でそれぞれ被約または正規である[39]。逆に、f がさらに有限表示で f ⁻¹(y) が x で被約または正規なら、X も x でそれぞれ被約または正規である[40]。

• 特に、f が忠実平坦で X が被約または正規であれば、Y はそれぞれ被約または正規である。f が忠実平坦かつ有限表示であれば、f のすべてのファイバーが被約または正規であることは X がそれぞれ被約または正規であることを意味する。

• f が X の点 x で平坦とする。このとき、X が x で整または整閉であれば、Y も f (x) でそれぞれ整または整閉である[39]。

• f が忠実平坦とする。X が局所的に整で Y の基礎位相空間が局所ネーターならば、Y も局所的に整である[41]。

• f が忠実平坦かつ準コンパクトとする。X が局所ネーターなら、Y も局所ネーターである[42]。

• f が平坦かつ X と Y がともに局所ネーターとする。X が x で正則なら、Y も f (x) で正則である。逆に、Y が f (x) で正則で、f ⁻¹(f (x)) が x で正則なら、X も x で正則である[43]。

• f が平坦かつ X と Y がともに局所ネーターとする。X が x で正規なら、Y も f (x) で正規である。逆に、Y が f (x) で正規で、f ⁻¹(f (x)) が x で正規なら、X も x で正規である[44]。

g : Y ′ → Y を忠実平坦な射とする。F を Y 上の準連接層とし、F ′ を F の Y ′ への引き戻しとする。このとき、F が Y 上平坦であることと F ′ が Y ′ 上平坦であることは同値である[45]。

f が忠実平坦かつ準コンパクトとする。G を Y 上の準連接層、 F をこの X への引き戻しとする。このとき、F が有限型、有限表示、階数 n で局所自由となることと、G が対応する性質を持つことは同値である[46]。

f : X → Y を S スキームの S 射とする。g : S ′ → S を忠実平坦かつ準コンパクトな射とし、X ′, Y ′, f ′ を g による基底変換とする。このとき、次に挙げる各性質 P に対して、f ′ が性質 P を持てば f も性質 P を持つ[47]。

• 開
• 閉
• 準コンパクトかつその像の上への同相写像
• 同相写像

さらに、次に挙げる各性質 P に対して、f が性質 P を持つことと f ′ が性質 P を持つことは同値である[48]。

• 普遍的開
• 普遍的閉
• 普遍的同相写像（universal homeomorphism）
• 準コンパクト
• 準コンパクトかつ支配的
• 準コンパクトかつ普遍的共連続（universally bicontinuous）
• 分離的
• 準分離的
• 局所有限型
• 局所的に有限表示
• 有限型
• 有限表示
• 固有
• 同型
• 単射
• 開埋入
• 準コンパクトな埋入
• 閉埋入
• アフィン
• 準アフィン
• 有限
• 準有限
• 整

忠実平坦射で降下しない性質もある。例えば、「局所同型」という性質は、f ′ が局所同型写像であっても f が局所埋入ですらないということはあり得るので、降下しない[49]。

f が準コンパクト、L を X 上の可逆層とする。このとき、L が f 豊富または f 非常に豊富であることと、その引き戻し L′ がそれぞれ f ′ 豊富またはf ′ 非常に豊富であることは同値である[50]。しかし、「f が射影的であることと f ′ が射影的であることは同値」という主張は成り立たない。また、「f が固有かつ f ′ が射影的なら f は準射影的」という主張も成り立たない。これは、X に降下しない X ′ 上の f ′ 豊富層が存在し得るからである[51]。