平方完成

平方完成（へいほうかんせい、英: completing the square）とは、二次式（二次関数）を式変形して $a(x-h)^{2}$ の形を作り、一次の項を見かけ上なくすことである。この式変形は全ての二次式に可能で、一意に決まる。

ax^{2}+bx+c=a(x-h)^{2}+k\quad (a\neq 0)

$x-h$ の $h$ を除けば、つまり $x-h=t$ と変換すれば

at^{2}+k

の形に帰着される。このことより、以下のことが導出できる：

二次方程式の解を求める（→二次方程式の解の公式）
二次関数のグラフの頂点の座標を求める
微分積分学で、冪指数に一次の項を含むガウス積分の計算
ラプラス変換の計算

また、平方完成の考え方を応用して解く手法も見られる（#類似の手法）。

概観

二次式 $ax^{2}+bx+c\ (a\neq 0)$ において、一次の項「 $+\;\!\;\!bx$ 」があるのとないのでは、応用上の取り扱いが大きく異なる。

変数 $x$ が $x-h$ の形になる代わりに一次の項がなくなれば、 $h$ の違いだけで済むことができる。

ここでは、二次の係数（最高次係数）が $1$ の場合とそうでない場合に分けてみる。

二次の係数（最高次係数）が $1$ の場合: $x^{2}+bx+c$

の一次の項「 $+\;\!\;\!bx$ 」をなくして $x^{2}$ を $(x-h)^{2}$ の形にする。

(x-h)^{2}=x^{2}-2hx+h^{2}

より、一次の係数を比較すると

b=-2h

h=-{\frac {b}{2}}

これにより、 $x 2 + bx + c$ の平方完成は次の式になる：

x^{2}+bx+c=\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}+c

二次の係数（最高次係数）が $1$ でない場合: $ax^{2}+bx+c\quad (a\neq 0)$

の一次の項「 $+\;\!\;\!bx$ 」をなくして $x$ を $x-h$ にする。

二次の係数が $1$ の場合で得られた等式

x^{2}+bx=\left(x+{\frac {b}{2}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}

を利用する。

{\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=a\left(x^{2}+{\frac {b}{a}}x\right)+c\\&=a\left\{\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right\}+c\\&=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}}{4a}}+c\\&=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\end{aligned}}

[1]

つまり、一次以上の項を二次の係数 $a$ で括ることにより、二次の係数が $1$ の場合を利用している。

二次形式の平方完成

1変数の二次式の平方完成を踏まえて、一般の $n$ 変数二次式に対しても、平方完成ができる。例えば二変数なら

ax^{2}+bxy+cy^{2}+dx+ey+f\quad (abc\neq 0)

である。これは二次形式

{\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&{\frac {b}{2}}\\{\frac {b}{2}}&c\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\\e\end{pmatrix}}+f\quad (abc\neq 0)

の形で書ける。

一般の $n$ 変数二次式は、 $A$ を対称行列として

{}^{t}xAx+{}^{t}xb+c={}^{t}(x-h)A(x-h)+k\quad \left(h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b,\quad k=c-{\frac {1}{4}}{}^{t}bA^{-1}b\right)

で書ける。

$A$ が対称でないときは $h$ と $k$ の式が

h=-(A+{}^{t}A)^{-1}b,\quad k=c-{}^{t}hAh=c-{}^{t}b\,(A+{}^{t}A)^{-1}A\,(A+{}^{t}A)^{-1}b

とやや一般になるが同じ式で書ける。

幾何学的解釈

二次方程式

x^{2}+bx=a

を平方完成により解くことを考える。この過程を、面積図で表すと次のようになる。

$x 2$ は一辺が $x$ の正方形の面積、 $bx$ は縦横が $b, x$ の長方形の面積に等しい。面積 $bx$ の長方形を2等分割して、長さ $x$ の辺で正方形と貼り合わせる。すると、正方形の角が欠けた形になる。

欠けている角に一辺が $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}b/2$ の正方形を補うと、全体が正方形になる。したがって、両辺に $(b / 2) 2$ を加えると、平方 $(x + b / 2) 2$ が完成する。

類似の手法

平方完成とは、 $u 2 + 2 uv$ の形の式に第三項 $v 2$ を加えて完全平方式を作る操作である。 $u 2 + v 2$ が先に与えられていても、中間項 $2 uv$ または $- 2 uv$ を加えることにより完全平方式を得ることができる。

相反式の平方完成

正の実数 $x$ に対して、自身とその逆数の和は

{\begin{aligned}x+{\frac {1}{x}}&=\left(x-2+{\frac {1}{x}}\right)+2\\[5pt]&=\left({\sqrt {x}}-{\frac {1}{\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}

このように平方完成すると、正の数とその逆数の和は常に $2$ 以上であることが示される。

複二次式の因数分解

複二次式

x^{4}+324

を因数分解することを考える。この式は $(x^{2})^{2}+18^{2}$ と見ることができるから、中間項 $2(x 2)(18) = 36 x 2$ を考え、

{\begin{aligned}x^{4}+324&=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}\\&=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}

と因数分解できる。

二次方程式の解

「二次方程式の解の公式」を参照

二次関数のグラフ

Graphs of quadratic functions shifted to the right by h = 0, 5, 10, and 15.

二次関数のグラフが

x

軸方向に

h = 0, 5, 10, 15

平行移動する様子。

Graphs of quadratic functions shifted upward by k = 0, 5, 10, and 15.

二次関数のグラフが

y

軸方向に

k = 0, 5, 10, 15

平行移動する様子。

Graphs of quadratic functions shifted upward and to the right by 0, 5, 10, and 15.

二次関数のグラフが

x

軸方向、

y

軸方向共に

0, 5, 10, 15

ずつ平行移動する様子。

二次関数 $y=ax^{2}+bx+c\quad (a\neq 0)$ の $xy$ -座標平面におけるグラフは、平方完成することによりその様子がよく分かる。

関数式 $ax^{2}+bx+c$ を平方完成して

y=a(x-h)^{2}+k

これのグラフは、放物線 $y=ax^{2}$ を $x$ 軸方向に $h$ 、 $y$ 軸方向に $k$ 平行移動したものであると分かる。特に、頂点（停留点）があり、その座標は

(h,k)

であることが分かる。軸の方程式は

x=h

である。

a > 0

の場合、

x = h

で最小値

k

をとる。

a < 0

の場合、

x = h

で最大値

k

をとる。

応用

積分

不定積分

\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}

の被積分関数に平方完成を適用すれば、より基本的な積分

\int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C

または

\int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan {\frac {x}{a}}+C

に帰着できる（ $C$ は積分定数）。

複素数

$z$ を複素数とするとき、

|z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c

（

b

は複素数、

c

は実数）

（

z *, b *

はそれぞれ

z, b

の複素共役）

は常に実数である。このことは、複素数に対する恒等式 $| u | 2 = uu*$ を用いて、式を以下のように変形すると分かる：

{\begin{aligned}|z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c&=zz^{*}-b^{*}z-bz^{*}+bb^{*}-bb^{*}+c\\&=z(z^{*}-b^{*})-b(z^{*}-b^{*})-|b|^{2}+c\\&=(z-b)(z^{*}-b^{*})-|b|^{2}+c\\&=(z-b)(z-b)^{*}-|b|^{2}+c\\&=|z-b|^{2}-|b|^{2}+c\end{aligned}}

別の例として、 $a, b, x, y$ を実数とするとき、

ax^{2}+by^{2}

は、 $a > 0, b > 0$ のとき、複素数の絶対値の平方を用いて書くことができる。実際に、 $z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y$ と置けば

{\begin{aligned}|z|^{2}&=zz^{*}\\&=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&=ax^{2}+by^{2}\end{aligned}}

となる。

冪等行列

正方行列 $M$ が冪等とは $M 2 = M$ が成り立つことである。

M={\begin{pmatrix}a&b\\b&1-a\end{pmatrix}}

は、 $a^{2}+b^{2}=a$ ならば冪等行列である。平方完成により

(a-{\tfrac {1}{2}})^{2}+b^{2}={\tfrac {1}{4}}

$M$ が実行列なら、これは $ab$ -平面において中心 $(1 / 2, 0)$ 、半径 $1 / 2$ の円の方程式である。角度 $θ$ を用いて書けば、

M={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1-\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &1+\cos \theta \end{pmatrix}}

と媒介変数表示できる。

参考文献

Narasimhan, Revathi (2008). Precalculus: Building Concepts and Connections. Cengage Learning. pp. 133–134. ISBN 0-618-41301-4, Section Formula for the Vertex of a Quadratic Function, page 133–134, figure 2.4.8

Algebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8, pp.539-544
Algebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X, pp.214-214, 241-242, 256-257, 398-401

外部リンク

Weisstein, Eric W. "Completing the Square". mathworld.wolfram.com (英語).
completing the square in nLab（英語）
Completing the square - PlanetMath.org（英語）
Completing the Square at ProofWiki（英語）
How to Complete the Square, Education Portal Academy（英語）
『{{{2}}}』 - 高校数学の美しい物語

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[1] Narasimhan, Revathi (2008). Precalculus: Building Concepts and Connections. Cengage Learning. pp. 133–134. ISBN 0-618-41301-4, Section Formula for the Vertex of a Quadratic Function, page 133–134, figure 2.4.8