平面三項環

R は少なくとも相異なる二点（それを 0, 1 と書くことにする）を含む集合とするとき、写像 T: R³ → R との組 (R, T) が（右）平面三項環とは、写像 T が以下の条件

1. ${\displaystyle T(a,0,b)=T(0,a,b)=b,\quad (\forall a,b\in R)}$;
2. ${\displaystyle T(1,a,0)=T(a,1,0)=a,\quad (\forall a\in R)}$;
3. 方程式 ${\displaystyle T(x,a,b)=T(x,c,d)\quad (\forall a,b,c,d\in R,\,a\neq c)}$ はただ一つの解 x ∈ R を持つ;
4. 方程式 ${\displaystyle T(a,b,x)=c\quad (\forall a,b,c\in R)}$ はただ一つの解 x ∈ R を持つ;
5. 方程式 ${\displaystyle T(a,x,y)=b,T(c,x,y)=d\quad (\forall a,b,c,d\in R,\,a\neq c)}$ はただ一つの解 ${\displaystyle (x,y)\in R^{2}}$ を持つ

を満足するときに言う。同様に、左平面三項環は T′(a, b, c) ≔ T(b, a, c) (T は右平面三項環の条件を満たす) によって定まる。

R が有限集合のとき、公理 3. と公理 5. は公理 4. の存在のもとで同値である[1]

注意: T に関する公理 1., 2. が対 (0, 1) に対して満たされているとき、対 (0, 1) を別の対 (0′, 1′) に取り換えた公理 1., 2. をも同時に満たすような T は存在しない。その意味で T と対 (0, 1) は一意に対応する。

以下に定められる「二項演算」は必ずしも結合的でない。そのことを強調する意味で演算子は丸囲みのものを用いてあることに注意（つまり、以下は直和やテンソル積などではない）。

線型三項環

平面三項環 (R, T) が線型とは、

$${\displaystyle T(a,b,c)=(a\otimes b)\oplus c,\quad (\forall a,b,c\in R)}$$

と書けるときに言う。例えば、定義により、準体 (quasifield)（ヴェブレン–ウェダーバーン系）に対応する平面三項環は線型である。[2]

平面三項環を確立するための射影平面の座標

平面三項環 (R, T) が与えられたとき、点集合 P と直線集合 L を以下のように与えて射影平面を構成することができる:[5][6] （∞ は R に属さない余分の記号であることに注意）

• ${\displaystyle P=\{(a,b)\mid a,b\in R\}\cup \{(a)\mid a\in R\}\cup \{(\infty )\},}$
• ${\displaystyle L=\{[a,b]\mid a,b\in R\}\cup \{[a]\mid a\in R\}\cup \{[\infty ]\}.}$

直観的には、(a, b) は座標 a, b を持つ点、(a) は傾き a の原点 (0, 0) を出る直線（軸）上の無限遠直線上にある端点、(∞) は無限遠直線上の端点の一方（もう一方は (0)）であり、また [a, b] は (a) と (0, b) を結ぶ直線、[a] は傾き a の軸、[∞] は無限遠直線である。

x+b

ax

射影平面の接続関係 I は以下のように与えられる:

${\displaystyle ((a,b),[c,d])\in I\iff T(a,c,d)=b}$

${\displaystyle ((a,b),[c])\in I\iff a=c}$

${\displaystyle ((a,b),[\infty ])\notin I}$

${\displaystyle ((a),[c,d])\in I\iff a=c}$

${\displaystyle ((a),[c])\notin I}$

${\displaystyle ((a),[\infty ])\in I}$

${\displaystyle (((\infty ),[c,d])\notin I}$

${\displaystyle ((\infty ),[a])\in I}$

${\displaystyle ((\infty ),[\infty ])\in I}$

任意の射影平面は適当な平面三項環からこの方法で構成することができる。ただし二つの同型でない平面三項環から同型な射影平面が導かれることもある。

逆に任意の射影平面 π から、どの三点も同一直線上にない四点 O, E, U, V を選び出して、 O = (0, 0), E = (1, 1), V = (∞), V = (0) となるような座標を導入することができて[注釈 5]、このとき三項演算は（∞ 以外の）座標の関係式として y = T(x, a, b) となるための必要十分条件を、点 (x,y) が無限遠点 (a) から (0, b) へ結んだ直線上にあることと定めることで得られる。射影平面を定義する公理系はこれが平面三項環を与えることを示すのに用いられる。

平面三項系が線型であることは、この付随する射影平面が特定の幾何学的条件を満足することに同値である[7]。また、

より一般に、任意の射影平面 P は以下の何れかのレンツ図形をちょうど一つ持つ:[8]

レンツ分類

型	レンツ図形	座標環
I	${\displaystyle \operatorname {L} (P)=\emptyset }$	三項環
II	直線 a ∈ L とその上の点 Z ∈ a が存在して ${\displaystyle \operatorname {L} (P)=\lbrace (a,Z)\rbrace }$	デカルト群
III	直線 g ∈ L と点 U ∈ P ∖ g が存在して ${\displaystyle \operatorname {L} (P)=\lbrace (UZ,Z):Z\in g\rbrace }$	特殊デカルト群（常に無限群）
IVa	軸 a ∈ L が存在して ${\displaystyle \operatorname {L} (P)=\lbrace a\rbrace \times a}$	左準体
IVb	中心 Z ∈ P が存在して ${\displaystyle \operatorname {L} (P)=\lbrace g\in L:Z\in g\rbrace \times \lbrace Z\rbrace }$	右準体[注釈 6]
V	軸 a ∈ L と中心 Z ∈ P が存在して ${\displaystyle \operatorname {L} (P)=(\lbrace a\rbrace \times a)\cup (\lbrace g\in L:Z\in g\rbrace \times \lbrace Z\rbrace )}$.	半体
VII	${\displaystyle \operatorname {L} (P)=\lbrace (a,Z)\in L\times P:Z\in a\rbrace }$	交代体

レンツ分類の細分化としてレンツ-バルロッティ分類が知られている[9][10]。各射影平面 P は以下の分類のどれかちょうど一つに当てはまる:

レンツ–バルロッティ分類

型	レンツ-バルロッティ図形	O, U, V, E に対応する三項環
I.1	${\displaystyle \operatorname {B} (P)=\operatorname {L} (P)=\emptyset }$	三項環
I.2	${\displaystyle \operatorname {B} (P)=\{(U,OV)\}}$	線型三項環、乗法が結合的
I.3	${\displaystyle \operatorname {B} (P)=\{(U,OV),(V,OU)\}}$	線型三項環、乗法が結合的 かつ左分配則を満たす
I.4	${\displaystyle \operatorname {B} (P)=\{(U,OV),(V,OU),(O,UV)\}}$	線型三項環、乗法が結合的 かつ両側分配則を満たす
I.6	${\displaystyle \operatorname {B} (P)=\{(X,\theta (X)):X\in UV,X\neq V\}}$ ここで、θ は V を除く直線 UV 上の点集合 UV ∖ {V} から 直線 UV を除く V を通る直線集合への全単射である。 座標で書けば例えば θ((a)) ≔ [a].	線型三項環、乗法が結合的 かつ両側分配則を満たし、 さらに特別な性質を持つ
II.1	${\displaystyle \operatorname {B} (P)=\operatorname {L} (P)=\{(V,UV)\}}$	デカルト群
II.2	${\displaystyle \operatorname {B} (P)=\{(V,UV),(U,OV)\}}$	乗法が結合的なデカルト群
III.1	${\displaystyle \operatorname {B} (P)=\{(X,XU):X\in OV\}}$	特別な性質を持つデカルト群
III.2	${\displaystyle \operatorname {B} (P)=\{(X,XU):X\in OV\}\cup \{(U,OV\}}$	特別な性質を持つ、 乗法が結合的なデカルト群
IVa.1	${\displaystyle \operatorname {B} (P)=\operatorname {L} (P)=\{(X,UV):X\in UV\}}$, 平行移動平面	左準体
IVa.2	${\displaystyle \operatorname {B} (P)=\{(U,g):g\ni V\}\cup \{(V,h):h\ni U\}\{(X,UV):X\in UV\}}$	左概体
IVa.3	${\displaystyle \operatorname {B} (P)=\{(X,x):X\in UV,\theta (X)\in x\}}$ ただし θ は、直線 UV からそれ自身への 不動点を持たない対合的全単射である。	明示的に定義された九元左概体
IVb.1	IVa.1. のレンツ-バルロッティ図形の双対	IVa.1. の双対
IVb.2	IVa.2. のレンツ-バルロッティ図形の双対	IVa.2. の双対
IVb.3	IVa.3. のレンツ-バルロッティ図形の双対	IVa.3. の双対
V	${\displaystyle \operatorname {B} (P)=\operatorname {L} (P)=\{(X,UV):X\in UV\}\cup \{(V,x):x\ni V\}}$	半体
VII.1	${\displaystyle \operatorname {B} (P)=\operatorname {L} (P)=\lbrace (a,Z)\in L\times P:Z\in a\rbrace }$	交代体
VII.2	${\displaystyle \operatorname {B} (P)=L\times P}$	斜体

• 射影平面の分類

• Albert, A. Adrian; Sandler, Reuben (1968). An Introduction to Finite Projective Planes. New York: Holt, Rinehart and Winston
• Rafael Artzy (1965) Linear Geometry, Chapter 4 Axiomatic Plane Geometry, Addison-Wesley.
• Benz, Walter; Ghalieh, Khuloud (1998), “Groupoids associated with the ternary ring of a projective plane”, Journal of Geometry 61: 17-31, doi:10.1007/bf01237490
• Dembowski, Peter (1968), Finite geometries, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-61786-8, MR0233275
• Grari, A. (2004), “A necessary and sufficient condition so that two planar ternary rings induce isomorphic projective planes”, Arch. Math. (Basel) 83: 183-192, doi:10.1007/s00013-003-4580-9
• Hall, Jr., Marshall (1943), “Projective planes”, Transactions of the American Mathematical Society (American Mathematical Society) 54 (2): 229-277, doi:10.2307/1990331, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990331, MR0008892, https://jstor.org/stable/1990331
• Hall, Jr., Marshall (1959), The Theory of Groups, New York: The MacMillan Company, MR103215, Zbl 84, 22b
• Hughes, D.R. (1955), “Additive and multiplicative loops of planar ternary rings”, Proceedings of the American Mathematical Society 6: 973-980, doi:10.1090/s0002-9939-1955-0073568-8, MR17, 451d
• Hughes, Daniel R.; Piper, Fred C. (1973), Projective Planes, Graduate Texts in Mathematics (6), New York: Springer-Verlag, ISBN 0387900446, MR48 #12278
• Martin, G.E. (1967), “Projective planes and isotopic ternary rings”, The American Mathematical Monthly 74: 1185-1195, doi:10.2307/2315659, MR36 #7019
• Pickert, Günter (1975), Projektive Ebenen, Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3540072802
• Stevenson, Frederick (1972), Projective Planes, San Francisco: W.H. Freeman and Company, ISBN 071670443-9

• ternary ring - PlanetMath.（英語）
• Veldkamp, F.D. (2001), “Ternary field”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, https://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Ternary_field