掛谷集合

数学において掛谷集合（かけやしゅうごう、英: Kakeya set）もしくはベシコビッチ集合（英: Besicovitch set）とは、ユークリッド空間において、全ての方向に単位線分を持つ点の集合のことである。名称は掛谷宗一およびアブラム・ベシコヴィッチに因む。任意の正の数よりも小さい測度の掛谷集合が存在する。

平面において単位線分を連続的な移動により180度回転させて、線分を元の位置に向きを逆転させて戻すことができる点の集合を掛谷針集合と呼ぶ。

掛谷針集合の諸定理

任意の正の数よりも小さい面積の掛谷針集合が存在する。[1]

最小の凸掛谷針集合は一辺 ${2/{\sqrt {3}}}$ の正三角形である。[2]

半径 1 の円の内部で任意の正の実数 ε に対し ${\tfrac {\pi }{108}}$ +ε 以下の面積を持つ単連結掛谷針集合が存在する。[3]

掛谷針集合の例

半径 0.5 の円板 $s\approx 0.78539$

幅 1 のルーローの三角形 $s\approx 0.70477$

一辺 ${2/{\sqrt {3}}}$ の正三角形 $s\approx 0.57735$

半径 3 / 4 の円に内接するデルトイド $s\approx 0.39270$

出典

Perron, O. (1928). “Über eine Satz von Besicovitch”. Mathematische Zeitschrift 28: 383–386. doi:10.1007/BF01181172.
Falconer, K. J. (1985). The Geometry of Fractal Sets. Cambridge University Press. pp. 96–99
Pal, Julius (1920). “Ueber ein elementares variationsproblem”. Kongelige Danske Videnskabernes Selskab Math.-Fys. Medd. 2: 1–35.
Cunningham, F. (1971). “The Kakeya problem for simply connected and for star-shaped sets”. American Mathematical Monthly (The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 2) 78 (2): 114–129. doi:10.2307/2317619. JSTOR 2317619.

外部リンク

This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.

[1] Perron, O. (1928). “Über eine Satz von Besicovitch”. Mathematische Zeitschrift 28: 383–386. doi:10.1007/BF01181172.
Falconer, K. J. (1985). The Geometry of Fractal Sets. Cambridge University Press. pp. 96–99

[2] Pal, Julius (1920). “Ueber ein elementares variationsproblem”. Kongelige Danske Videnskabernes Selskab Math.-Fys. Medd. 2: 1–35.

[3] Cunningham, F. (1971). “The Kakeya problem for simply connected and for star-shaped sets”. American Mathematical Monthly (The American Mathematical Monthly, Vol. 78, No. 2) 78 (2): 114–129. doi:10.2307/2317619. JSTOR 2317619.