擬絶対値

R を単位的環とする。非負実数値函数 |•|: R → R₊ が擬絶対値であるとは、以下の三条件をすべて満たすときにいう: a, b ∈ R を任意として

1. 定値性: ${\displaystyle |a|=0\iff a=0,}$
2. ${\displaystyle |a-b|\leq |a|+|b|,}$
3. 劣乗法性: ${\displaystyle |a\cdot b|\leq |a|\cdot |b|.}$

条件 3 の代わりにより強く

3a. 乗法性: ${\displaystyle |a\cdot b|=|a|\cdot |b|}$

を満たすものは絶対値と言う。

擬絶対値 |•| が非アルキメデス的とは

${\displaystyle |a+b|\leq \max(|a|,|b|)}$

を満たすときに言う。

• 擬絶対値は各元 a ∈ R に対して必ず |−a| = |a| を満たす。また、各元 a, b ∈ R に対して三角不等式 |a + b| ≤ |a| + |b| を満たす。
• 擬絶対値に関して必ず |1| ≥ 1 が成り立ち、特に絶対値に関して |1| = 1 が成り立つ。
• 絶対値を持つ任意の単位的環は整域でなければならない（乗法性により、実数の零積性質がその環に遺伝する）。

以下 (R, |•|) は擬絶対値持つ単位的環とする。