旗多様体

体F上の有限次元ベクトル空間V内の旗は、部分空間の増加列です。ここで、「増加」とは、それぞれが次の適切な部分空間であることを意味します。

${\displaystyle \{0\}=V_{0}\subset V_{1}\subset V_{2}\subset \cdots \subset V_{k}=V.}$

dim V_i = d_i と書くと、次のようになります 。

${\displaystyle 0=d_{0}<d_{1}<d_{2}<\cdots <d_{k}=n,}$

ここで、nはVの次元です。したがって、k ≤ nでなければなりません。 すべてのiについてd_i = iの場合、旗は完全な旗と呼ばれ、それ以外の場合は部分旗と呼ばれます。 旗の指数は列 (d₁, ..., d_k) です。

一部の部分空間を削除することにより、完全な旗から部分旗を取得できます。逆に、適切な部分空間を挿入することで、部分旗を (さまざまな方法で) 完全な旗にすることができます。

線形代数の基本的な結果によると、体F上のn次元ベクトル空間V内の任意の 2 つの完全な旗は、幾何学的な観点からは互いに違いはありません。つまり、一般線型群は、すべての完全な旗の集合に対して推移的に作用します。

Vの順序付けられた基底を固定し、それをFⁿで識別します。その一般線型群は n × n 可逆行列の群 GL(n,F) です。この基底に関連付けられた標準旗は、i番目の部分空間が基底の最初のi個のベクトルにより張られる旗です。この基準に関連して、標準旗のスタビライザーは非特異下三角行列の群であり、これを B_n で表します。したがって、完全旗多様体は、等質空間として記述できます。GL(n,F) / B_n、これは特にF上の次元n (n−1)/2 を持つことを示しています。

恒等行列の倍数はすべての旗に自明に作用するため、半単純な代数群である行列式 1 を持つ行列の特殊線型群 SL(n,F)に注意を制限できることに注意してください。行列式 1 の下三角行列の集合はボレル部分群です。

体Fが実数または複素数の場合、選択した基底が正規直交になるようにVに内積を導入できます。次に、完全な旗は、直交する補空間を取ることにより、1 次元部分空間の直接和に分割されます。したがって、複素数上の完全旗多様体は等質空間です。

${\displaystyle U(n)/T^{n}}$

ここで、U( n ) はユニタリ群で、T nは対角ユニタリ行列のn次トーラスです。U( n ) を直交群 O( n ) に置き換え、T n を対角直交行列 (対角成分 ±1 を持つ ) に置き換えた実数についても同様の説明が可能です

ブリュア分解

• Robert J. Baston and Michael G. Eastwood, The Penrose Transform: its Interaction with Representation Theory, Oxford University Press, 1989.
• Jürgen Berndt, Lie group actions on manifolds, Lecture notes, Tokyo, 2002.
• Jürgen Berndt, Sergio Console and Carlos Olmos, Submanifolds and Holonomy, Chapman & Hall/CRC Press, 2003.
• Michel Brion, Lectures on the geometry of flag varieties, Lecture notes, Varsovie, 2003.
• James E. Humphreys, Linear Algebraic Groups, Graduate Texts in Mathematics, 21, Springer-Verlag, 1972.
• S. Kobayashi and T. Nagano, On filtered Lie algebras and geometric structures I, II, J. Math. Mech. 13 (1964), 875–907, 14 (1965) 513–521.