有限射

スキームの射 f: X → Y が有限射であるとは、Y があるアフィン・スキーム

${\displaystyle V_{i}={\mbox{Spec}}\;B_{i}}$

による開被覆を持ち、各 i に対して

${\displaystyle f^{-1}(V_{i})=U_{i}}$

が開アフィン部分スキーム Spec A_i になり、f を U_i に制限した射から誘導される環準同型

${\displaystyle B_{i}\rightarrow A_{i}}$

により A_i が B_i 上の有限生成加群になることを言う[3]。またこのとき、X は Y 上有限であると言う。

実際は、f が有限であることと、Y の全ての開アフィン部分スキーム V = Spec B に対して X における V の逆像がアフィンスキーム Spec A で、環 A が有限生成 B 加群となることは同値である[4]。

例えば、任意の体 k に対して ${\displaystyle {\text{Spec}}(k[t,x]/(x^{n}-t))\to {\text{Spec}}(k[t])}$ は有限射である。これは、${\displaystyle k[t]}$ 加群としての同型 ${\displaystyle k[t,x]/(x^{n}-t)\cong k[t]\oplus k[t]\cdot x\oplus \cdots \oplus k[t]\cdot x^{n-1}}$ があることから分かる。幾何的には、これは原点で退化するアフィン直線の分岐 n 重被覆なので、有限であることは明らかである。一方、包含による A¹ − 0 から A¹ への射は有限ではない。ローラン多項式環 k[y, y⁻¹] は k[y] 上の有限生成加群ではないからである。有限射を幾何的に捉えるならば、有限ファイバーを持つ全射を思い描かなければならない。

• 2つの有限射の合成は有限射である。

• 有限射 f: X → Y の基底変換は有限射である。つまり、g: Z → Y をスキームの任意の射とすると、自然な射 X ×_Y Z → Z 有限は有限射である。これは次の代数的な事実に対応している。A と C を（可換）B 代数とし、A が B 加群として有限生成とすると、テンソル積 A ⊗_B C は C 加群として有限生成である。実際、a_i を A の B 加群としての生成元とすると、a_i ⊗ 1 が A ⊗_B C の C 加群としての生成元になる。

• 閉埋入は有限である。閉埋入は、局所的に環 A と閉部分スキームに対応するイデアル I を用いて A → A/I とかけるからである。

• 有限射は閉である。したがって、有限射の基底変換は有限射であることに注意すると、有限射は固有である[4]。これは可換環論のコーエン・ザイデンベルクの上昇定理の帰結である。

• 有限射のファイバーは有限集合である。したがって、有限射は準有限射である[4]。これは、体 k に対して任意の有限 k 代数はアルティン環であることから分かる。また、これと関連することとして、有限な全射 f: X → Y があると、X と Y は同じ次元を持つ。

• スキームの射が有限であるのは、固有かつ準有限であるとき、かつそのときに限る（ドリーニュ）[5]。これは、射 f: X → Y が局所的に有限表示であるとき（Y がネーターであるときは、これは他の仮定から従う）はグロタンディークによって示されていた[6]。

• 有限射は射影的かつアフィンである[4]。

可換環の準同型 A → B に対し、B が A 代数として有限生成であるとき、B は 有限型（finite type）の A 代数と呼ばれる。B が A 加群として有限生成であるとき、B は 有限（finite ）A 代数と呼ばれるが、これは有限型であることよりも遥かに強い条件である。例えば、可換環 A と自然数 n に対して、多項式環 A[x₁, ..., x_n] は有限型の A 代数であるが、有限 A 加群となるのは A = 0 か n = 0 のときだけである。有限型ではあるが有限ではない射のもう1つの例は ${\displaystyle \mathbb {C} [t]\to \mathbb {C} [t][x,y]/(y^{2}-x^{3}-t)}$ である。

スキーム論でこれに対応するものは次の通り。スキームの射 f: X → Y が有限型（finite type）であるとは、Y のアフィン開部分スキームによる被覆 V_i = Spec A_i が存在して、f⁻¹(V_i) が有限個のアフィン開部分スキーム U_ij = Spec B_ij によって被覆され、B_ij が A_i 代数として有限型であることを言う。またこのとき、X は Y 上有限型であると言う。

例えば、任意の自然数 n と体 k に対して、k 上の n 次元アフィン空間や n 次元射影空間は k 上（Spec k 上の意）有限型である。一方、n = 0 でない限り k 上有限ではない。より一般に、k 上の任意の準射影的スキームは k 上有限型である。

ネーターの正規化補題を幾何学的に言い換えると次のようになる。体 k 上有限型な全てのアフィン・スキーム X は、X と同じ次元 n を持つ k 上のアフィン空間 Aⁿ への全射の有限射を持つ。同様に、体上の全ての射影スキーム X は、X と同じ次元 n の射影空間 Pⁿ への全射な有限射を持つ。

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• The Stacks Project Authors, The Stacks Project, http://stacks.math.columbia.edu/