極位相

実数あるいは複素数の体上のベクトル空間 ${\displaystyle X}$ と ${\displaystyle Y}$ の双対組を ${\displaystyle (X,Y,\langle ,\rangle )}$ と表す。

集合 ${\displaystyle A\subseteq X}$ が ${\displaystyle X}$ において ${\displaystyle Y}$ に関して有界であるとは、各元 ${\displaystyle y\in Y}$ に対する値の集合 ${\displaystyle \{\langle x,y\rangle ;x\in A\}}$ が有界であることをいう。すなわち、次が成り立つことをいう。

${\displaystyle \forall y\in Y\qquad \sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |<\infty .}$

この条件は、${\displaystyle Y}$ 内の集合 ${\displaystyle A}$ の極

${\displaystyle A^{\circ }=\{y\in Y:\quad \sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |\leq 1\}}$

が ${\displaystyle Y}$ 内の併呑集合であることと同値である。すなわち、次と同値である。

${\displaystyle \bigcup _{\lambda \in {\mathbb {F} }}\lambda \cdot A^{\circ }=Y.}$

今 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ は ${\displaystyle X}$ 内の ${\displaystyle Y}$ に関する有界集合の族とし、次の性質が成り立つものとする：

• ${\displaystyle X}$ の各点 ${\displaystyle x}$ はある集合 ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ に属する。すなわち、次が成り立つ。

${\displaystyle \forall x\in X\qquad \exists A\in {\mathcal {A}}\qquad x\in A,}$

• 二つの集合 ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ は ${\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}$ ある集合 ${\displaystyle C\in {\mathcal {A}}}$ に含まれる。すなわち、次が成り立つ。

${\displaystyle \forall A,B\in {\mathcal {A}}\qquad \exists C\in {\mathcal {A}}\qquad A\cup B\subseteq C,}$

• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ はスカラー倍について閉じている。すなわち、次が成り立つ。

${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {A}}\qquad \forall \lambda \in {\mathbb {F} }\qquad \lambda \cdot A\in {\mathcal {A}}.}$

このとき、次のセミノルム

${\displaystyle \|y\|_{A}=\sup _{x\in A}|\langle x,y\rangle |,\qquad A\in {\mathcal {A}},}$

は ${\displaystyle Y}$ 上のハウスドルフな局所凸位相を定義する。これを、集合族 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ によって生成される ${\displaystyle Y}$ 上の極位相という[1]。集合

${\displaystyle U_{A}=\{x\in V:\quad \|\varphi \|_{A}<1\},\qquad A\in {\mathcal {A}},}$

はこの位相の局所基を形成する。元のネット ${\displaystyle y_{i}\in Y}$ がこの位相において元 ${\displaystyle y\in Y}$ に収束するための必要十分条件は、次が成り立つことである。

${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {A}}\qquad \|y_{i}-y\|_{A}=\sup _{x\in A}|\langle x,y_{i}\rangle -\langle x,y\rangle |{\underset {i\to \infty }{\longrightarrow }}0.}$

このことにより、極位相はしばしば ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ の集合上の一様収束位相と呼ばれる。セミノルム ${\displaystyle \|y\|_{A}}$ は極集合 ${\displaystyle A^{\circ }}$ のゲージである。

• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ が ${\displaystyle X}$ 内のすべての ${\displaystyle Y}$ に関して有界な集合からなる族なら、${\displaystyle Y}$ 上の極位相は強位相と一致する。
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ が ${\displaystyle X}$ 内のすべての有限集合からなる族なら、${\displaystyle Y}$ 上の極位相は弱位相と一致する。
• 任意の局所凸空間 ${\displaystyle X}$ の位相は、双対空間 ${\displaystyle X'}$ 内のすべての同程度連続な集合 ${\displaystyle A\subseteq X'}$ の族 ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ によって ${\displaystyle X}$ 上定義される極位相として表現できる[2]。

• 双対位相

• Robertson, A.P.; Robertson, W. (1964). Topological vector spaces. Cambridge University Press

• Schaefer, Helmuth H. (1966). Topological vector spaces. New York: The MacMillan Company. ISBN 0-387-98726-6