構造的帰納法

31人の人物を記した、5世代にわたる家系図

家系図は次のように再帰的に定義される、よく知られた木構造である。

• 最も簡単なケースでは、家系図はたった1人だけを記す。（その人の両親が知られていない場合。）
• あるいは、1人と、その両親の家系図2つへの枝からなる。（証明を簡単にするため、一方の親が知られていたら、両方とも知られていることにしている。）

例として、性質「g 世代にわたる家系図は、多くとも 2^g-1 人だけを記している。」を、構造的帰納法によって次のように証明する。

• 単純なケースでは、家系図はちょうど1人だけを記す。そのため g = 1 である。1 ≦ 2¹ - 1 であるから、前述の性質を満たしている。
• あるいは、家系図は1人とその両親の家系図からなる。親の家系図はいずれも全体の家系図の部分構造だから、それらは前述の性質を満たしていると仮定できる。（これを帰納法の仮定(induction hypothesis)という。）　すなわち、親の家系図に記される世代の数をそれぞれ g, h で表し、親の家系図に記される人数をそれぞれ p, q で表すと、p ≦ 2^g-1 と q ≦ 2^h-1 が成り立つ、と仮定する。
  • g ≦ h のとき、全体の家系図は (h + 1) 世代にわたり、記されているのは p + q + 1 人である。p + q + 1 ≦ (2^g - 1) + (2^h - 1) + 1 ≦ (2^h - 1) + (2^h - 1) + 1 = (2^{h + 1} - 1) + 1。ゆえに、全体の家系図が性質を満たしていることが分かる。
  • h ≦ g のときも同様。

したがって、すべての家系図が上記の性質を持つ。

より形式的な例を挙げる。次のようなリストの性質を考える。

    length (L ++ M) = length L + length M          [EQ]

ここで L と M はリストであり、演算子 ++ はリストの連結を表している。

これを証明するには、length と ++ の定義が必要である。

    length []     = 0                  [LEN1]
    length (h:t)  = 1 + length t       [LEN2]

    []    ++ list = list               [APP1]
    (h:t) ++ list = h : (t ++ list)    [APP2]

ここで (h:t) は、最初の要素が h で、残りの要素がリスト t で表されるようなリストを表す。[] は空のリストを表す。

いま示そうとしているリストの性質 P(L) は、「すべてのリスト M に対して、上述の等式 EQ が成り立つ」ことである。リストに関する構造的帰納法によって、∀L. P(L) を証明する。

まず P([]) が真であることを示そう。つまり、L = [] であるときに、すべてのリスト M に関して EQ が成り立つことだ。これは次の等式で証明される。

      length (L ++ M)  = length ([] ++ M)             (仮定 L = [] より)
                       = length M                     (APP1 より)
                       = 0 + length M
                       = length [] + length M         (LEN1 より)
                       = length L  + length M

次に、すべての 空でない リスト I を考える。I は空でないから、先頭の要素を持つ。それを x とし、残りの要素からなるリストを xs とする。(これは I = x:xs と表せる。)　ここでの帰納法の仮定は、すべてのリスト M に対して次の等式 (EQ の L = xs の場合) が成り立つことである。

    length (xs ++ M) = length xs + length M    (帰納法の仮定)

このとき、P(I)、すなわちすべてのリスト M に対して EQ (の L = I の場合) が成り立つことを示したい。先ほどと同様に計算する。

    length L  + length M      = length (x:xs) + length M
                              = 1 + length xs + length M     (LEN2 より)
                              = 1 + length (xs ++ M)         (帰納法の仮定より)
                              = length (x: (xs ++ M))        (LEN2 より)
                              = length ((x:xs) ++ M)         (APP2 より)
                              = length (L ++ M)

したがって、構造的帰納法により、すべてのリスト L に対して P(L) が真であることが示された。すなわち、すべてのリスト L と M に対して EQ が真である。

この種の議論の例として、二分木全体の集合を考える。二分木 S, T に対して「S のノードの数が T より少ないときに S < T」として、整礎な前順序 < を定めておく。

命題「全二分木(full binary tree)の葉の数は、内部ノードの数より1多い。」を証明する。仮に反例があるとしよう。すると、内部ノードの数が極小な反例 C がある。C の内部ノードの数を n、葉ノードの数を l とする。選び方より n + 1 ≠ l。これにより、C は自明な木ではない （自明な木は n = 0, l = 1 であるため）。したがって、C のいずれかの葉ノード L は、親がある内部ノード N である。C は全二分木であるから、内部ノード N はちょうど2つの子ノード L, S を持つ。C から N と L を削除して、N のあった位置に S を移動することで、新しく全二分木 C’ を作る。その内部ノードの数と葉ノードの数は、それぞれ n, l より1ずつ少ないので、等式 n + 1 ≠ c を保つ。ゆえに、C’ も命題の反例であるが、それは C が極小な反例であることと矛盾する。背理法により、始めの命題が真であると示された。