正準変数

電荷量eをとする質量mの荷電粒子の電磁場中における運動を考える[4]。3次元空間での粒子の位置座標x =(x, y, z )を一般化座標にとる。スカラーポテンシャルをφ(x,t)、ベクトルポテンシャルをA(x,t)とすると、荷電粒子のラグランジアンは、

${\displaystyle L({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\dot {x}}},t)={\frac {1}{2}}m{\boldsymbol {\dot {x}}}^{2}-e\phi ({\boldsymbol {x}},t)+e{\boldsymbol {\dot {x}}}\cdot {\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}},t)}$

で与えられる。ここでx =(x, y, z )に正準共役な運動量p =(p_x, p_y, p_z )は

${\displaystyle p_{x}:={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}+eA_{1}({\boldsymbol {x}},t)}$

${\displaystyle p_{y}:={\frac {\partial L}{\partial {\dot {y}}}}=m{\dot {y}}+eA_{2}({\boldsymbol {x}},t)}$

${\displaystyle p_{z}:={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}=m{\dot {z}}+eA_{3}({\boldsymbol {x}},t)}$

である。これをベクトルで表記すると

${\displaystyle {\boldsymbol {p}}={\frac {\partial L}{\partial {\boldsymbol {\dot {x}}}}}=m{\boldsymbol {\dot {x}}}+e{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}},t)}$

となる。ハミルトニアンは

${\displaystyle {\begin{aligned}H({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {p}},t)&={\boldsymbol {p}}\cdot {\boldsymbol {\dot {x}}}-L\\&={\frac {1}{2m}}{\bigl (}{\boldsymbol {p}}-e{\boldsymbol {A}}({\boldsymbol {x}},t){\bigr )}^{2}+e\phi ({\boldsymbol {x}},t)\end{aligned}}}$

である。

距離r=√x²+y²+z²のみに依存する中心力ポテンシャルV=V(r)の下での質量mの粒子の運動を考える[4]。3次元空間での粒子の位置の極座標表示を(x,y,z)=(rsinθ cosφ, rsinθ sinφ, rsinφ)とし、極座標(r,θ,φ)を一般化座標にとる。このとき、粒子のラグランジアンは

${\displaystyle L(r,\theta ,\phi ,{\dot {r}},{\dot {\theta }},{\dot {\phi }})={\frac {1}{2}}m{\bigl (}{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}{\theta }\,{\dot {\phi }}^{2}{\bigr )}-V(r)}$

で与えられる。(r,θ,φ)に正準共役な運動量(p_r,p_θ,p_φ)は

${\displaystyle p_{r}:={\frac {\partial L}{\partial {\dot {r}}}}=m{\dot {r}}}$

${\displaystyle p_{\theta }:={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}=mr^{2}{\dot {\theta }}}$

${\displaystyle p_{\phi }:={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}=mr^{2}\sin ^{2}{\theta }\,{\dot {\phi }}}$

である。ハミルトニアンは

${\displaystyle {\begin{aligned}H(r,\theta ,\phi ,p_{r},p_{\theta },p_{\phi })&=p_{r}{\dot {r}}+p_{\theta }{\dot {\theta }}+p_{\phi }{\dot {\phi }}-L\\&={\frac {p_{r}^{\,2}}{2m}}+{\frac {p_{\theta }^{\,2}}{2mr^{2}}}+{\frac {p_{\phi }^{\,2}}{2mr^{2}\sin ^{2}{\theta }}}+V(r)\end{aligned}}}$

である。

• C. G. J. Jacobi, (1837). “Note sur l'intégration des équations différentielles de la Dynamique,”. Comptes rendus de l’Acadmie des sciences de Paris t. V: 61-67. http://sites.mathdoc.fr/cgi-bin/oetoc?id=OE_JACOBI__4., in

Wrecke 4: 129-126.

• 中根美知代 (2000). “物理学から数学へ:Hamilton-Jacobi理論の誕生”. 数理解析研究所講究録 1130: 58-71. https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/handle/2433/63679.

• 大貫義郎、吉田春夫『力学』岩波書店〈現代物理学叢書〉、2001年。ISBN 978-4000067614。
• 山本義隆、中村孔一『解析力学I』‎ 朝倉書店〈朝倉物理学大系〉、1998年。ISBN 978-4254136715。
• 山本義隆、中村孔一『解析力学II』‎ 朝倉書店〈朝倉物理学大系〉、1998年。ISBN 978-4254136722。
• Herbert Goldstein; Charles Poole; John Safko (2001). Classical Mechanics (3rd ed.). Addison Wesley. ISBN 978-0201657029
• Jorge V. José; Eugene J. Saletan (2013). Classical Dynamics: A Contemporary Approach. Cambridge University Press. ISBN 978-0521636360