準フロベニウスリー代数

数学において、体 k 上の準フロベニウスリー代数 (quasi-Frobenius Lie algebra)

${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,],\beta )}$

とは、リー代数

${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,])}$

であって、次のような非退化歪対称双線型形式 ${\displaystyle \beta \colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to k}$ を持ったものである：

${\displaystyle \beta }$ は k に値を持つ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ のリー代数 2-コサイクル。言い換えると、

${\displaystyle \beta \left(\left[X,Y\right],Z\right)+\beta \left(\left[Z,X\right],Y\right)+\beta \left(\left[Y,Z\right],X\right)=0}$ for all ${\displaystyle X,Y,Z}$ in ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.

${\displaystyle \beta }$ がコバウンダリであれば、つまりある線型形式 ${\displaystyle f\colon {\mathfrak {g}}\to k}$ が存在して

${\displaystyle \beta (X,Y)=f(\left[X,Y\right])}$

であれば、

${\displaystyle ({\mathfrak {g}},[\,\,\,,\,\,\,],\beta )}$

はフロベニウスリー代数 (Frobenius Lie algebra) と呼ばれる。