熱伝達率

ヌセルト数 Nu は無次元化された熱伝達率であり、次の式で定義される：

${\displaystyle Nu={\frac {hL}{k}}}$

ここで、

• k ：流体の熱伝導率 (W/(m K))
• L ：代表長さ (m)

である。強制対流の場合にはヌセルト数を無次元流速のレイノルズ数と流体の運動と温度を結びつける物性値であるプラントル数で整理し、自然対流の場合には浮力と粘性力の比であるグラスホフ数とプラントル数で整理するのが一般的である。

ヌセルト数は熱伝導率を用いて無次元化したが、代わりに比熱あるいは熱容量を用いることもでき、これをスタントン数 St という。

${\displaystyle St={\frac {h}{c_{p}\,\rho \,U}}}$

ここで

• c_p ：流体の比熱 (J/(kg K))
• ρ：流体の密度 (kg/m³)
• U ：流速 (m/s)

である。

層流の場合

温度が均一な板の強制対流のヌセルト数は下記の式で求めることができる。レイノルズ数Re を求めるとき、代表長さには流れ方向の長さをとる。

${\displaystyle Nu=0.664\,Re^{1/2}\,Pr^{1/3}\quad (Re<10^{5})}$

乱流の場合

${\displaystyle Nu=0.037Re^{4/5}Pr^{1/3}}$

層流の場合

管の長さをl 、管入口からの距離をx とする。また代表長さには円管直径d をとる。速度場、温度場は十分に発達しているとする。

• 管壁温度一定なら

${\displaystyle Nu=3.66\quad (Re<2300,{\frac {x/d}{Re\,Pr}}>0.05)}$

• 壁面熱流束一定なら

${\displaystyle Nu=4.36\quad (Re<2300,{\frac {x/d}{Re\,Pr}}>0.05)}$

乱流の場合（壁温一定）

• コルバーンの式（Colburn's equation）

${\displaystyle Nu=0.023Re^{4/5}Pr^{1/3}}$

• ディタス・ベルター（Dittus-Boelter）の式

${\displaystyle Nu=0.023Re^{0.8}Pr^{n}\quad (0.7\leq Pr\leq 160,\,Re\geq 10^{4},\,l/d>10)}$

上式の指数n は、流体を加熱するときn = 0.4、冷却するときn = 0.3とする。また、物性値は出入口における温度の平均値を用いる。

• コルバーンのアナロジーによる式[2]

摩擦係数f が既知であれば、スタントン数St を用いて

${\displaystyle j_{\mathrm {H} }\equiv St\,Pr^{2/3}=f/2}$

j_H はコルバーンのj因子と呼ばれる。この式は平板についてもよく成り立つ。

• ペトゥコフ（Petukhov）の式

物性値は膜温度における値を用いる。

${\displaystyle Nu={\frac {(f/8)Re\,Pr}{1.07+12.7(f/8)^{1/2}(Pr^{2/3}-1)}}\quad (0.5<Pr<2000,\,10^{4}<Re<5\times 10^{6})}$

ただし、f は摩擦係数で次式である：

${\displaystyle f=(1.82\log _{10}Re-1.64)^{-2}}$

• グニーリンスキー（Gnielinski）の式

物性値は膜温度における値を用いる。

${\displaystyle Nu={\frac {(f/8)(Re-1000)Pr}{1+12.7(f/8)^{1/2}(Pr^{2/3}-1)}}\quad (0.5<Pr<2000,\,2300<Re<5\times 10^{6})}$

${\displaystyle f=(0.79\ln Re-1.64)^{-2}}$

厳密解としては

${\displaystyle Nu=0.668\left[{\frac {Gr\,Pr^{2}}{0.5+Pr^{1/2}+Pr}}\right]^{1/4}\quad (Ra<5\times 10^{8})}$

これは次で近似できる：

${\displaystyle Nu=0.56(Gr\,Pr)^{1/4}\quad (0.72<Pr<10,\,Ra<5\times 10^{8})}$

実験式として次がある。Gr Pr が低い場合は層流、高い場合は乱流支配である。

${\displaystyle Nu={\begin{cases}0.59(Gr\,Pr)^{1/4},&(10^{4}<Gr\,Pr<10^{9})\\0.10(Gr\,Pr)^{1/3}&(10^{9}<Gr\,Pr<10^{13})\end{cases}}}$

または

${\displaystyle Nu=\left[0.825+{\frac {0.387(Gr\,Pr)^{1/6}}{\{1+(0.492/Pr)^{9/16}\}^{8/27}}}\right]^{2}\quad (0.1\leq Gr\,Pr\leq 10^{12})}$

これらの実験式を用いる場合、物性値は膜温度（壁面温度と無限遠の流体温度の平均）を用いる。

水平な円柱が加熱されている場合は、直径d を代表長さにとり、次の実験式がある：

${\displaystyle Nu=\left[0.60+{\frac {0.387(Gr\,Pr)^{1/6}}{\{1+(0.559/Pr)^{9/16}\}^{8/27}}}\right]^{2}\quad (10^{-5}<Gr\,Pr<10^{12})}$

これは鉛直平板の式において、l = πd / 2 とおいた場合に非常に近い。

加熱上向き面あるいは冷却下向き面の場合

• 層流：

${\displaystyle Nu=0.54(Gr\,Pr)^{1/4}\quad (10^{4}<Gr\,Pr<10^{7})}$

• 乱流：

${\displaystyle Nu=0.15(Gr\,Pr)^{1/3}\quad (10^{7}<Gr\,Pr<10^{11})}$

加熱下向き面あるいは冷却下向き面で、層流の場合

${\displaystyle Nu=0.27(Gr\,Pr)^{1/4}\quad (10^{5}<Gr\,Pr<10^{11})}$

縦に長い密閉空間の左右の壁面を高温および低温に保持した場合は、アスペクト比やレイリー数の範囲に応じて次のような実験式がある。ただし、物性値は壁面の温度の平均値を取る。

${\displaystyle Nu=0.22\left({\frac {Pr}{0.2+Pr}}Ra\right)^{0.28}\left({\frac {H}{L}}\right)^{-1/4}\quad (2<{\frac {H}{L}}<10,\,Pr<10^{5},\,10^{3}<Ra<10^{10})}$

または

${\displaystyle Nu=0.18\left({\frac {Pr}{0.2+Pr}}Ra\right)^{0.29}\quad (1<{\frac {H}{L}}<2,\,10^{-3}<Pr<10^{5},\,{\frac {Pr}{0.2+Pr}}Ra>10^{3})}$

流体の種類による熱伝達率の値は次の程度にみつもる。ただし熱伝達率は流れの形態や、固体の物性などによっても変化するため、以下はおおよその値である。また、単位が kcal/(m²・h・℃) であることに注意。国際単位系との関係は 1 kcal/(m²・h・℃) = 1.16279 W/(m² K) である。

• 静止した空気（無風） 4 kcal/(m²・h・℃)
• 流れている空気 10～250 kcal/(m²・h・℃)
• 流れている油 50～1500 kcal/(m²・h・℃)
• 流れている水 250～5000 kcal/(m²・h・℃)