球面三角法

ABC を球面三角形とし辺 BC, CA, AB の長さをそれぞれ a, b, c とする。弧 AB を含む大円が乗る平面と弧 AC を含む大円が乗る平面のなす角を A とする。これは、点 A における2つの大円の接ベクトルのなす角ともいえる。ただし、a と一致するとは限らない。同様に B, C も定義する。 このとき、次の式が成り立つ。

球面三角法の余弦定理

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\\cos b&=\cos c\cos a+\sin c\sin a\cos B\\\cos c&=\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos C\end{aligned}}}$

球面三角法の正弦定理

${\displaystyle {\frac {\sin a}{\sin A}}={\frac {\sin b}{\sin B}}={\frac {\sin c}{\sin C}}}$

正弦余弦定理

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin a\cos B&=\cos b\sin c-\sin b\cos c\cos A\\\sin a\cos C&=\cos c\sin b-\sin c\cos b\cos A\end{aligned}}}$

球面三角法の正接定理

${\displaystyle {\frac {\tan {\dfrac {A+B}{2}}}{\tan {\dfrac {A-B}{2}}}}={\frac {\tan {\dfrac {a+b}{2}}}{\tan {\dfrac {a-b}{2}}}}}$

球面三角法の余接定理

${\displaystyle \cot a\sin b=\cos b\cos C+\cot A\sin C}$

面積（球面の半径 ${\displaystyle =r}$，球過量 (Spherical Excess) ${\displaystyle =E}$，${\displaystyle 2s=a+b+c}$）

球面三角形ABCの面積 ${\displaystyle =Er^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}E&=A+B+C-\pi \\&=4\tan ^{-1}{\sqrt {\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}}}\\&=2\sin ^{-1}{\frac {\sqrt {\sin s\sin(s-a)\sin(s-b)\sin(s-c)}}{2\cos {\dfrac {a}{2}}\cos {\dfrac {b}{2}}\cos {\dfrac {c}{2}}}}\\&=2\cos ^{-1}{\frac {1+\cos a+\cos b+\cos c}{4\cos {\dfrac {a}{2}}\cos {\dfrac {b}{2}}\cos {\dfrac {c}{2}}}}\end{aligned}}}$

第1式をジラールの式、第2式をリュイリエの式、第3式をカニョリの式、第4式をオイラーの式という。

${\displaystyle 2s=a+b+c}$ 、 ${\displaystyle 2S=A+B+C}$ とおく。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin b\sin c}}}\\\cos {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {\sin s\sin(s-a)}{\sin b\sin c}}}\\\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\frac {\sin(s-b)\sin(s-c)}{\sin s\sin(s-a)}}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {a}{2}}&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\sin B\sin C}}}\\\cos {\frac {a}{2}}&={\sqrt {\frac {\cos(S-B)\sin(S-C)}{\sin B\sin C}}}\\\tan {\frac {a}{2}}&={\sqrt {\frac {-\cos S\cos(S-A)}{\cos(S-B)\cos(S-C)}}}\end{aligned}}}$

天文学や航海術では一つの角が直角の場合が多く、この場合公式は簡単になる[3]。

${\displaystyle C={\frac {\pi }{2}}}$ とすると、

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{(R1)}}&\qquad \cos c&=\cos a\,\cos b,&\qquad \qquad &{\text{(R6)}}&\qquad \tan b&=\cos A\,\tan c,\\&{\text{(R2)}}&\sin a&=\sin A\,\sin c,&&{\text{(R7)}}&\tan a&=\cos B\,\tan c,\\&{\text{(R3)}}&\sin b&=\sin B\,\sin c,&&{\text{(R8)}}&\cos A&=\sin B\,\cos a,\\&{\text{(R4)}}&\tan a&=\tan A\,\sin b,&&{\text{(R9)}}&\cos B&=\sin A\,\cos b,\\&{\text{(R5)}}&\tan b&=\tan B\,\sin a,&&{\text{(R10)}}&\cos c&=\cot A\,\cot B.\end{alignedat}}}$

これらを記憶するためにネイピアの円がある。

ネイピアの円

ネイピアの円と直角球面三角形

右図をネイピアの円という。 ${\displaystyle {\bar {a}}={\frac {\pi }{2}}-a,{\bar {b}}={\frac {\pi }{2}}-b}$である。

ネイピアの円のどれか一つの要素を中央要素とし、その隣の要素を隣接要素、残りの中央要素の反対側にある2つの要素を対向要素とする。このとき上記の定理(R1)～(R10)は次のように書ける。

中央要素の余弦 = 隣接要素の余接の積

中央要素の余弦 = 対向要素の正弦の積

球面三角形の一辺が${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$となっているものを象限三角形という。この場合も公式は簡単になる[4]。${\displaystyle c={\frac {\pi }{2}}}$とすると、

${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}&{\text{(Q1)}}&\qquad \cos C&=-\cos A\,\cos B,&\qquad \qquad &{\text{(Q6)}}&\qquad \tan B&=-\cos a\,\tan C,\\&{\text{(Q2)}}&\sin A&=\sin a\,\sin C,&&{\text{(Q7)}}&\tan A&=-\cos b\,\tan C,\\&{\text{(Q3)}}&\sin B&=\sin b\,\sin C,&&{\text{(Q8)}}&\cos a&=\sin b\,\cos A,\\&{\text{(Q4)}}&\tan A&=\tan a\,\sin B,&&{\text{(Q9)}}&\cos b&=\sin a\,\cos B,\\&{\text{(Q5)}}&\tan B&=\tan b\,\sin A,&&{\text{(Q10)}}&\cos C&=-\cot a\,\cot b.\end{alignedat}}}$

象限三角形の場合はネイピアの円に ${\displaystyle {\bar {A}},{\bar {B}},a,\pi -C,b}$ を当てはめればよい。

球面三角形 ABC の極三角形 A'B'C'

一般に、大円の平面に垂直な直径の両端をその大円の極という。右図において球面三角形ABCの1つの辺BCを考えると、それには2つの極があるが、そのうち辺BCから見てAと同じ側にあるほうをA'とする。同様に辺CA, ABについても極B', C'を定めることができる。このようにして得られた3点A', B', C'を結んで新しい一つの球面三角形A'B'C'が得られる。これを元の球面三角形ABCの極三角形という。

球面三角形A'B'C'が球面三角形ABCの極三角形であるならば、逆に球面三角形ABCは球面三角形A'B'C'の極三角形である。また今、球面三角形A'B'C'が球面三角形ABCの極三角形であるとし、その三辺、三角をそれぞれa', b', c'、A', B', C'で表すと、a, b, c、A, B, Cとの間には次のような関係がある[注釈 1]：

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}A'&=\pi -a,&\qquad B'&=\pi -b,&\qquad C'&=\pi -c,\\a'&=\pi -A,&b'&=\pi -B,&c'&=\pi -C.\end{alignedat}}}$

上記をまとめると、球面三角形の法則は、それぞれの要素の向かい合った要素の補角に置き換えても成り立つ。これを双対原理という[5]。具体例を挙げると

${\displaystyle \cos a=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A}$

から

${\displaystyle \cos(\pi -A)=\cos(\pi -B)\cos(\pi -C)+\sin(\pi -B)\sin(\pi -C)\cos(\pi -a)}$

すなわち

${\displaystyle \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a}$

が成り立つ。

${\displaystyle \operatorname {hav} x\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {1}{2}}(1-\cos x)=\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}$

で定義される半正矢関数 ${\displaystyle \operatorname {hav} ()}$ が航海用として使用されていた。具体的には、球面上の2点間の球面に沿った距離を求める場面である。前述の余弦定理でも求めることは可能だが、2地点間が近い（例えば経度差が0に近い）とき ${\displaystyle \cos {x}=0.99999999}$ といった値を使うことになり、計算しづらいのでこちらを用いた。定義からこの関数の値は常に正であり、かつ、偶関数である。

${\displaystyle \cos x=1-2\operatorname {hav} x}$ から、最初の球面三角法の余弦定理を書き直すと

${\displaystyle 1-2\operatorname {hav} a=\cos b\cos c+\sin b\sin c(1-2\operatorname {hav} A)}$

より

${\displaystyle \operatorname {hav} a\ =\operatorname {hav} (b-c)+\sin b\sin c\ \operatorname {hav} A}$

となる。

半径1の球の2点の緯度が ${\displaystyle \varphi _{1},\varphi _{2}}$、経度が ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$ であるとき、2点間の大円上の距離を ${\displaystyle \theta }$ とすると、

${\displaystyle \operatorname {hav} \theta =\operatorname {hav} (\varphi _{2}-\varphi _{1})+\cos \varphi _{2}\cos \varphi _{1}\operatorname {hav} (\lambda _{2}-\lambda _{1})}$

ここから求めた ${\displaystyle \theta }$ に地球半径約6371 kmを掛ければ、地球上でのおおよその距離が分かる。

ジャン＝バティスト・ジョゼフ・ドランブルによる。ガウスの公式と呼ばれることもある。

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {c}{2}}&=\cos {\frac {a+b}{2}}\sin {\frac {C}{2}}\\\sin {\frac {A+B}{2}}\cos {\frac {c}{2}}&=\cos {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {C}{2}}\\\cos {\frac {A-B}{2}}\sin {\frac {c}{2}}&=\sin {\frac {a+b}{2}}\sin {\frac {C}{2}}\\\sin {\frac {A-B}{2}}\sin {\frac {c}{2}}&=\sin {\frac {a-b}{2}}\cos {\frac {C}{2}}\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {A+B}{2}}={\frac {\cos {\dfrac {a-b}{2}}}{\cos {\dfrac {a+b}{2}}}}\cot {\frac {C}{2}}\\\tan {\frac {A-B}{2}}={\frac {\sin {\dfrac {a-b}{2}}}{\sin {\dfrac {a+b}{2}}}}\cot {\frac {C}{2}}\\\tan {\frac {a+b}{2}}={\frac {\cos {\dfrac {A-B}{2}}}{\cos {\dfrac {A+B}{2}}}}\tan {\frac {c}{2}}\\\tan {\frac {a-b}{2}}={\frac {\sin {\dfrac {A-B}{2}}}{\sin {\dfrac {A+B}{2}}}}\tan {\frac {c}{2}}\end{aligned}}}$

• 渡邊敏夫『数理天文学』恒星社厚生閣、1951年。
• 河瀬和重「球面三角法の簡潔かつ体系的な理解への試み」『国土地理院時報』第132巻、国土地理院、2019年、115-118頁、doi:10.57499/JOURNAL_132_18。

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