球面波

上式は次のようにして導き出せる。

3次元の波動方程式は以下である：

${\displaystyle \Delta \psi \equiv {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}\qquad \cdots (3)}$

ただしここでは波源を原点、すなわち${\displaystyle (x,y,z)=(0,0,0)}$としている。まずこれを球座標に変換し、角度には依存しないことを考慮すると、次式になる（ラプラス作用素#三次元を参照）。

${\displaystyle \Delta \psi ={\frac {2}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}}$

（球座標への変換導出過程）
次の関係が成り立つ。
 ${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$
このとき
 ${\displaystyle {\dfrac {\partial r}{\partial x}}={\dfrac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}}={\dfrac {x}{r}}}$
したがって
 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \psi }{\partial x}}&={\frac {\partial \psi }{\partial r}}{\frac {\partial r}{\partial x}}={\frac {x}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}},\\{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}&={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {x}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {x}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {\partial r}{\partial x}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {x}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left({\frac {x}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}\right)={\frac {1}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {x}{r}}\left(-{\frac {x}{r^{2}}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {x}{r}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}\right)\\&={\frac {r^{2}-x^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {x^{2}}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}\end{aligned}}}$
同様に
 ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}&={\frac {r^{2}-y^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {y^{2}}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}},\\{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}&={\frac {r^{2}-z^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {z^{2}}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}\end{aligned}}}$
したがって
${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \psi &={\frac {3r^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})}{r^{3}}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {x^{2}+y^{2}+z^{2}}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}\\&={\frac {2}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}\end{aligned}}}$

ここで

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi )={\frac {2}{r}}{\frac {\partial \psi }{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial r^{2}}}}$

となるので、以上を波動方程式(3)の左辺に代入して

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi )={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}}$

を得る。両辺にr をかけると

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi )={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}(r\psi )}$

となるが、これはr ψについての1次元波動方程式であり、簡単に解くことができる：

${\displaystyle r\psi =f(r\pm vt)}$

または

${\displaystyle r\psi =F\left(t\pm {\frac {r}{v}}\right)}$

したがって式(1)、(2)を得る。

点波源を中心とする球面の単位面積あたりに単位時間運ばれるエネルギー、すなわち波の強度${\displaystyle I}$は以下のようになる。

${\displaystyle I(r)=2\pi ^{2}\rho v\nu ^{2}\left({\frac {\mathcal {A}}{r}}\right)^{2}={\frac {2\pi ^{2}\rho v\nu ^{2}{\mathcal {A}}^{2}}{r^{2}}}}$

ただし${\displaystyle \rho }$は媒質の密度、${\displaystyle \nu }$は振動数である。

この式より調和球面波の強度に関して逆2乗の法則が成り立っていることがわかる。