中心 (代数学)

${\displaystyle G}$ の中心は部分群である。なぜならば、${\displaystyle x}$ と ${\displaystyle y}$ を ${\displaystyle Z(G)}$ の元とすると、任意の ${\displaystyle g\in G}$ に対して、

${\displaystyle (xy)g=x(yg)=x(gy)=(xg)y=(gx)y=g(xy)}$

なので、${\displaystyle xy}$ も中心に入る。同様にして、${\displaystyle x^{-1}}$ も中心に入る。

${\displaystyle x^{-1}g=(g^{-1}x)^{-1}=(xg^{-1})^{-1}=gx^{-1}}$.

群の単位元 ${\displaystyle e}$ は常に中心に入る。${\displaystyle eg=g=ge}$.

中心はアーベル群で ${\displaystyle G}$ の正規部分群である。${\displaystyle G}$ の特性部分群でもある、つまりすべての自己同型で不変である。中心は強特性 (strictly characteristic) でさえある、つまりすべての全射自己準同型で不変である。${\displaystyle G}$ がアーベル群であることと ${\displaystyle Z(G)=G}$ は同値である。

中心はちょうど、${\displaystyle z}$ による共役、すなわち ${\displaystyle \left(g\mapsto z^{-1}gz\right)}$ が恒等写像であるような、${\displaystyle G}$ の元 ${\displaystyle z}$ からなる。したがって中心を中心化群の特別な場合としても定義できる。${\displaystyle C_{G}(G)=Z(G)}$ である。

• 3次対称群 ${\displaystyle S_{3}=\left\{\mathrm {id} ,(1\;2),(1\;3),(2\;3),(1\;2\;3),(1\;3\;2)\right\}}$ の中心は単位元 ${\displaystyle \mathrm {id} }$ のみからなる、なぜならば：

${\displaystyle (1\;2)(1\;3)=(1\;3\;2)\neq (1\;3)(1\;2)=(1\;2\;3)}$

${\displaystyle (1\;2)(2\;3)=(1\;2\;3)\neq (2\;3)(1\;2)=(1\;3\;2)}$

${\displaystyle (1\;2\;3)(1\;2)=(1\;3)\neq (1\;2)(1\;2\;3)=(2\;3)}$

${\displaystyle (1\;3\;2)(1\;2)=(2\;3)\neq (1\;2)(1\;3\;2)=(1\;3)}$

• 二面体群 ${\displaystyle D_{4}}$ は正方形が全く動かないような平面の動きからなる。それは正方形の中心を中心とする角度 0°, 90°, 180°, 270°の回転と、2つの対角線および正方形の平行する辺の中点を通る2つの直線による4つの鏡映からなる。この群の中心はちょうど 0°と 180°の2つの回転からなる。
• 実数を成分に持つ可逆 n×n-行列の乗法群の中心は単位行列の（0 でない）実数倍からなる。

リー代数 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ の中心は（可換な）イデアル

${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})=\{z\in {\mathfrak {g}}\mid [x,z]=0\ {\text{for all}}\ x\in {\mathfrak {g}}\}}$

である。ただし ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ はブラケット積、つまり ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ の積を表す。リー代数がその中心に等しいことと可換であることは同値である。

• 一般線型群 ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,K)}$ の中心は単位行列 ${\displaystyle E_{n}}$ のスカラー倍からなる。

${\displaystyle Z\left(\mathrm {GL} (n,K)\right)=\{\lambda E_{n}\colon \lambda \in K^{*}\}}$.

• 交換子をブラケット積とする結合多元環に対して2つの中心の概念は一致する。