群の直積

群 ${\textstyle G}$、${\textstyle H}$が与えられたとき、その集合としての直積 ${\textstyle G\times H}$ に、

${\displaystyle (g,h)(g',h')=(gg',hh')\qquad {\text{for}}\;\;g,g'\in G,\,h,h'\in H}$

として演算を定義すると、 ${\textstyle G\times H}$ は群になる。これを ${\textstyle G}$ と ${\textstyle H}$ の直積という。

同様に、有限個の群 ${\textstyle G_{1},G_{2},\dots ,G_{n}}$ が与えられたとき、その直積集合の元

${\displaystyle (g_{1},g_{2},\dots ,g_{n}),\,(g'_{1},g'_{2},\dots ,g'_{n})\in \prod _{i=1}^{n}G_{i}}$

に対して

${\displaystyle (g_{1},g_{2},\dots ,g_{n})(g'_{1},g'_{2},\dots ,g'_{n})=(g_{1}g'_{1},g_{2}g'_{2},\dots ,g_{n}g'_{n})}$

と定義すると、${\textstyle \Pi _{i}G_{i}}$ は群になり、これを ${\textstyle G_{1},G_{2},\dots ,G_{n}}$の直積と言う。

一般に、群の族 ${\textstyle \{G_{i}\}_{i\in I}}$ が与えられると、その直積集合の元 ${\textstyle (g_{i})}$，${\textstyle (g_{i}^{\prime })}$ に対して、

$${\displaystyle (g_{i})(g_{i}^{\prime })=(g_{i}g_{i}^{\prime })}$$

によって演算を定義したものが群 ${\displaystyle \{G_{i}\}}$ の直積である。

群 ${\displaystyle G}$ と ${\displaystyle H}$ の直積 ${\displaystyle G\times H}$ は、${\displaystyle \{(g,1_{H})\mid g\in G\}}$ と ${\displaystyle \{(1_{G},h)\mid h\in H\}}$ を正規部分群として含む（ただし ${\displaystyle 1_{G},\ 1_{H}}$ はそれぞれの単位元）。これらはそれぞれ G, H と同型である。

${\displaystyle g\in G,\ (g^{\prime },h^{\prime })\in G\times H}$ とすると，次の等式が成り立つ。

$${\displaystyle (g^{\prime },h^{\prime })(g,1_{H})(g^{\prime },h^{\prime })^{-1}=(g^{\prime }g{g^{\prime }}^{-1},1_{H})}$$

${\displaystyle h\in H}$ についても同様である。よって，主張が従う[1]．

群の直積 ${\displaystyle G\times H}$ において群 ${\displaystyle G}$ の任意の元と群 ${\displaystyle H}$ との任意の元は可換である。

${\displaystyle g\in G,\ h\in H}$ とすると，次が成り立つ。

$${\displaystyle (g,h)=(g,1_{H})(1_{G},h)=(1_{G},h)(g,1_{H})}$$

したがって，主張が従う[2]．

• 群 G, H, K に対し、次の同型が成り立つ。
  $${\displaystyle (G\times H)\times K\cong G\times (H\times K)\cong G\times H\times K}$$

  
• （普遍性）群 G_i (i ∈ I) が与えられているとする。π_j : Π_{i ∈ I} G_i → G_j (j ∈ I) を自然な射影とする。このとき任意の群 H と任意の群準同型写像 f_j : H → G_j (j ∈ I) に対して、一意的な準同型 φ : H → Π_{i ∈ I} G_i が存在して、f_j = π_j∘φ (j ∈ I) が成り立つ。つまり群の直積は群のなす圏の直積である。