箙 (数学)

数学、特に結合代数の表現論において箙（えびら）あるいはクイバー（英: quiver）とは、多重辺とループを許す有向グラフのことである。P. Gabrielによって1972年に導入された[1]。代数的閉体上の任意の有限次元代数は、ある箙から定まる道代数の商代数と森田同値になる (Gabriel)。

箙の例

定義

集合 $V, E$ と写像 $s, t : E \to V$ が与えられたとき、組 $Q = (V, E, s, t)$ を箙という[2]。このとき $V$ の元を頂点、 $E$ の元を辺あるいは矢という。また辺 $α \in E$ に対して頂点 $s (α)$ を始点、 $t (α)$ を終点という。 $(V, E)$ は $(Q 0, Q 1)$ や $(I, Ω)$ とも書かれ、 $s$ , $t$ は $out$ , $in$ とも書かれる。

頂点集合 $V$ と辺集合 $E$ が共に有限集合のとき、箙 $Q$ は有限であるという。また、各頂点を出入りする辺が有限個であるとき、箙は局所有限であるという。

辺の列 $α 1, \dots, α n \in E$ が条件 $t (α i) = s (α i + 1) (1 \leq i < n)$ を満たすとき、辺の列 $α 1, \dots, α n$ を道という。このとき $n \geq 1$ を道の長さ、頂点 $a = s (α 1)$ を道の始点、 $b = t (α n)$ を道の終点という。この道を記号で以下のように表す。

(a|\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n}|b)

ここで、頂点 $v \in V$ のことを便宜的に長さが 0 の（自明な）道といい、その始点と終点は $v$ と定める。上と同様にこれを $(v || v)$ と表す。

道代数

箙 $Q$ に対して、長さ 0 以上の道からなる集合を基底とする体 $k$ 上の自由線型空間を $kQ$ とおく。ここで道 $(a | α 1, \dots, α n | b)$ と $(c | β 1, \dots, β m | d)$ に対して以下のように積を定める。

(a|\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}|b)(c|\beta _{1},\dotsc ,\beta _{m}|d)={\begin{cases}(a|\alpha _{1},\dotsc ,\alpha _{n},\beta _{1},\dotsc ,\beta _{m}|d)&(b=c)\\0&(b\neq c)\end{cases}}

この代数 $kQ$ を道代数（英: path algebra）という[3]。

例

頂点集合 $V$ を ${1, \dots, n}, 辺集合 E を {α 1, \dots, α n - 1}, s (α i) = i + 1, t (α i) = i とおく。通常、箙 Q = (V, E, s, t) は以下のように図示される。$

Q:1{\stackrel {\alpha _{1}}{\longleftarrow }}2{\stackrel {\alpha _{2}}{\longleftarrow }}\dotsb {\stackrel {\alpha _{n-1}}{\longleftarrow }}n

このとき、道代数 $kQ$ は $n$ 次下三角行列のなす代数と同型である[4]。

また頂点集合 $V$ を一点集合 {1}、辺集合 $E$ を ${α 1, \dots, α n}$ , $s (α i) = 1$ , $t (α i) = 1$ とおく。このとき、道代数 $kQ$ は自由代数 $k ⟨ x 1, \dots, x n ⟩$ と同型である。

箙の表現

箙 $(I, Ω)$ の表現とは， $I$ -次数付きベクトル空間 $(V i) i \in I$ と線型写像 $(φ α : V out(α) \to V in(α)$ )_{α ∈ Ω} の組である．

この表現 $V$ が有限次元であるとは，各ベクトル空間が有限次元であることであり，このときその次元ベクトル $dim V$ とは $(dim V i) i \in I$ のことである。

2つの表現の間の射は適切な整合条件を満たす線型写像の組であり、表現の全体はアーベル圏をなす。

とくに oriented cycle をもたない有限な箙については，その単純加群、直既約射影加群、直既約移入加群が極めて容易に分類できる。

有限群と群環の場合と同様、箙の表現から道代数の表現を作ることができ、逆に道代数の表現から箙の表現が得られる。

有限次元代数の表現論との関係

有限な箙 $Q$ のすべての辺から生成される道代数 $kQ$ の両側イデアルを $R$ とおく。このとき、道代数 $kQ$ の両側イデアル $I$ が認容的（英: admissible）であるとは、

R^{m}\leq I\leq R^{2}

となる自然数 $m \geq 2$ が存在することをいう[5]。

代数的閉体 $k$ 上の任意の有限次元代数 $A$ に対して、有限な箙 $Q$ とその道代数 $kQ$ の認容的イデアル $I$ が存在して、有限次元代数 $A$ は商代数 $kQ / I$ と森田同値である[6]。

ガブリエルの定理

詳細は「ガブリエルの定理」を参照

ガブリエルの定理は、有限な箙の表現とディンキン図形とを結びつける[7]。

脚注

Gabriel, Peter (1972), “Unzerlegbare Darstellungen. I”, Manuscripta Mathematica 6 (1): 71–103, doi:10.1007/BF01298413, ISSN 0025-2611, MR 0332887
Assem et al. 2006, p. 41.
Assem et al. 2006, p. 43.
Assem et al. 2006, p. 52.
Assem et al. 2006, p. 53.
Zimmermann 2014, p. 414.
Assem et al. 2006, p. 291, 5.10. Theorem.

参考文献

Assem, Ibrahim; Simson, Daniel; Skowronski, Andrzej (2006). Elements of the Representation Theory of Associative Algebras 1. Techniques of Representation Theory. London Mathematical Society student texts. 65. Cambridge University Press. ISBN 0-521-58423-X. MR 2197389. Zbl 1092.16001

Zimmermann, Alexander (2014). Representation Theory: A Homological Algebra Point of View. Algebra and applications. Springer. ISBN 978-3-319-07967-7. MR 3289041. Zbl 1306.20001

外部リンク

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[1] Gabriel, Peter (1972), “Unzerlegbare Darstellungen. I”, Manuscripta Mathematica 6 (1): 71–103, doi:10.1007/BF01298413, ISSN 0025-2611, MR 0332887

[FOOTNOTEAssem_et_al.200641-2] Assem et al. 2006, p. 41.

[FOOTNOTEAssem_et_al.200643-3] Assem et al. 2006, p. 43.

[FOOTNOTEAssem_et_al.200652-4] Assem et al. 2006, p. 52.

[FOOTNOTEAssem_et_al.200653-5] Assem et al. 2006, p. 53.

[FOOTNOTEZimmermann2014414-6] Zimmermann 2014, p. 414.

[FOOTNOTEAssem_et_al.20062915.10._Theorem-7] Assem et al. 2006, p. 291, 5.10. Theorem.