累積的階層

数学、特に集合論において、累積的階層（るいせきてきかいそう、Cumulative hierarchy）とは順序数 ${\displaystyle \alpha }$ で添え字づけられた集合 ${\displaystyle W_{\alpha }}$ の族で、以下を満たすものを指す。

• ${\displaystyle W_{\alpha }\subseteq W_{\alpha +1}}$
• ${\displaystyle \lambda }$ が極限順序数のとき、${\textstyle W_{\lambda }=\bigcup _{\alpha <\lambda }W_{\alpha }}$

場合によって、${\displaystyle W_{\alpha +1}\subseteq {\mathcal {P}}(W_{\alpha })}$ であることや、${\displaystyle W_{0}\neq \emptyset }$ であることを条件に入れることもある。

累積的階層をなしている ${\textstyle W=\bigcup _{\alpha \in \mathrm {On} }W_{\alpha }}$ の和はしばしば集合論のモデルになる。

単純に"累積的階層"と言った場合、フォン・ノイマン宇宙の累積的階層 ${\displaystyle \mathrm {V} _{\alpha }}$ を指すことが多い。これは ${\displaystyle \mathrm {V} _{\alpha +1}={\mathcal {P}}(W_{\alpha })}$ で定めるものであり Zermelo (1930) で導入された。