結晶構造

結晶構造は「基本構造」と「格子」の2つから成る。つまり基本構造と格子が決まれば、結晶構造も決まる。

基本構造とは一つの「格子点」に付随する構造である。ここで、格子点とは周囲の環境が同一である点のことをいい、特定の原子の位置には限られない[1]。

また格子点は並進操作により無限に再現され、「格子」を作る。 格子点を結んだ領域で、適当な並進操作を繰り返すことで全空間を埋め尽くすことのできるものを「単位格子」と呼ぶ（「単位」という名前がつけられているが、いくら大きくてもいくつ格子点を含んでいても構わない）。 単位格子の中で格子点が頂点だけのもの、つまり格子点を平均で1つ含むような単位格子を「基本単位格子（または単純単位格子）」と呼ぶ。

結晶格子（けっしょうこうし）は、結晶の並進対称性を特徴付ける空間上の格子である。

実空間において、基本並進ベクトル a₁, a₂, a₃ により、実格子ベクトル R_n は、

${\displaystyle {\boldsymbol {R}}_{n}=n_{1}{\boldsymbol {a}}_{1}+n_{2}{\boldsymbol {a}}_{2}+n_{3}{\boldsymbol {a}}_{3}}$

で表される。ここで、n = (n₁, n₂, n₃) は任意の整数の組である。a₁, a₂, a₃ が作る平行六面体が単位格子（すなわち単位胞）であり、この単位格子を3次元的に繰り返し並べたものが結晶である。そしてこの結晶を形作る格子が結晶格子であり、実格子ベクトル R_n の終点が格子点である。

結晶系・ブラベ格子

結晶系は「必須の対称性」を定めることで、以下の7つの結晶系に分類される。次に、結晶格子を対称性により分類することを考える。単位胞の中にちょうど一つの原子を含むものを単純 (primitive) 格子と呼ぶが、結晶格子の対称性を考える上では、同じ結晶であっても単位胞に複数の原子を含むように記述したほうが見通しがよくなる場合がある。そこで、単純格子と、その単位胞の中心や単位胞の面の中心に原子を配置してできる格子を考える。このよう格子は3次元の場合 7 (対称性) × 4 (単純・底心・面心・体心) 種類あるが、ここからより小さな単位胞を使って記述しても単位胞の対称性を損なわないものを除くと14種類になる。このような14種類を (3次元) ブラベ格子 (Bravais Lattice) と呼ぶ[2][3]。

2次元のブラベ格子（5種類）・3次元のブラベ格子（14種類）については以下の通り。なお、4次元のブラベ格子は64種類が存在する（詳細は英語版ページを参照）。

2次元のブラベ格子

分類	ブラベ格子		図
Crystal family	単純 (P)	面心 (C)
Monoclinic (m)	斜方格子 (oblique) 右図1
Orthorhombic (o)	長方格子 (rectangular) 右図2	面心長方格子 (centered rectangular) 右図3
Hexagonal (h)	六方格子 (hexagonal) 右図4
Tetragonal (t)	正方格子 (square) 右図5

3次元のブラベ格子

分類			対称性	点群数	空間群数	ブラベ格子
Crystal family 広義的分類	Crystal system （結晶系） 対称性による分類	Lattice system （格子系/結晶系） 格子による分類				単純 (P)	底心 (S or A/B/C)	体心 (I)	面心 (F)
三斜晶系 (triclinic; a)			なし	2	2	三斜格子 (aP)
単斜晶系 (monoclinic; m)			1つの 2回回転軸/鏡映面	3	13	単純単斜格子 (mP)	底心単斜格子 (mS)
直方晶系（斜方晶系) (orthorhombic; o)			3つの直交した 2回回転軸/鏡映面	3	59	単純直方格子 (oP)	底心直方格子 (oS)	体心直方格子 (oI)	面心直方格子 (oF)
正方晶系 (tetragonal; t)			1つの 4回回転軸/4回回反軸	7	68	単純正方格子 (tP)		体心正方格子 (tI)
六方晶系 (hexagonal; h)	六方晶系 (hexagonal)	六方晶系 (hexagonal)	1つの 6回回転軸/6回回反軸	7	27	六方格子 (hP)
	三方晶系 (trigonal)		1つの 3回回転軸/3回回反軸	5	18
		菱面体晶系 (rhombohedral)			7	菱面体格子 （三方格子） (hR)
立方晶系（等軸晶系） (cubic; c)			4つの 3回回転軸	5	36	単純立方格子 (cP)		体心立方格子 (cI)	面心立方格子 (cF)

結晶構造はいろいろな方法で記述できる。単位格子を基にする方法以外にも、最密充填を基にする方法がある。原子を間隙が最も少なくなるように配置させた構造を最密充填構造という。

• 最密充填構造
  • 六方最密充填構造（hcp）
  • 面心立方格子構造（fcc）または立方最密充填構造（ccp）
• 最密充填ではない構造
  • 単純立方格子構造（cubic-P）
  • 体心立方格子構造（cubic-I, bcc）

多くの結晶は多成分から成り、同じような結晶構造を持つものが多い。そのような結晶構造には以下のように名前が付けられている。

結晶構造	SB記号[4]	図	主な例	ボロノイ図形表現
単純立方格子構造	Ah		α-${\displaystyle {\ce {Po}}}$（低温）[5]	立方体
面心立方格子構造	A1		${\displaystyle {\ce {Al}}}$, ${\displaystyle {\ce {Ca}}}$, ${\displaystyle {\ce {Ni}}}$, ${\displaystyle {\ce {Cu}}}$, ${\displaystyle {\ce {Ag}}}$, ${\displaystyle {\ce {Au}}}$	菱形十二面体
体心立方格子構造	A2		${\displaystyle {\ce {Li}}}$, ${\displaystyle {\ce {Na}}}$, ${\displaystyle {\ce {K}}}$, ${\displaystyle {\ce {V}}}$, ${\displaystyle {\ce {Cr}}}$	切頂八面体
六方最密充填構造	A3		${\displaystyle {\ce {Be}}}$, ${\displaystyle {\ce {Mg}}}$, ${\displaystyle {\ce {Ti}}}$, ${\displaystyle {\ce {Co}}}$, ${\displaystyle {\ce {Zn}}}$	菱形台形十二面体
ダイヤモンド構造	A4		${\displaystyle {\ce {C}}}$, ${\displaystyle {\ce {Si}}}$, ${\displaystyle {\ce {Ge}}}$, ${\displaystyle {\ce {Sn}}}$	切頂四面体に正四面体の4等分の三角錐を貼り付けた16面体
白スズ型構造	A5		β-${\displaystyle {\ce {Sn}}}$	等面四面体（等面八面体の空隙あり）
グラファイト構造	A9		${\displaystyle {\ce {C}}}$	六角柱の側面に四角錐を3つ貼り付けた11面体＋六角柱の側面に四角錐を3つ、天地面に六角錐を貼り付けた15面体
A15型構造	A15		${\displaystyle {\ce {Nb3Sn}}}$, ${\displaystyle {\ce {V3Si}}}$, β-${\displaystyle {\ce {W}}}$, ${\displaystyle {\ce {Nb3Al}}}$, ${\displaystyle {\ce {Cr3O}}}$	黄鉄鉱型三角二十面体＋楔形四面体
塩化ナトリウム型構造	B1		${\displaystyle {\ce {NaCl}}}$, ${\displaystyle {\ce {MgO}}}$, ${\displaystyle {\ce {CoO}}}$	切稜立方体＋立方体
塩化セシウム型構造	B2		${\displaystyle {\ce {CsCl}}}$, ${\displaystyle {\ce {RbCl}}}$（高温高圧下）	立方八面体＋正八面体
閃亜鉛鉱型構造	B3		${\displaystyle {\ce {ZnS}}}$, ${\displaystyle {\ce {HgS}}}$, ${\displaystyle {\ce {CuCl}}}$	正八面体の4面に交互に正四面体の4等分の三角錐を貼り付けた16面体＋正四面体
ウルツ鉱型構造	B4		${\displaystyle {\ce {ZnO}}}$, ${\displaystyle {\ce {AlN}}}$, ${\displaystyle {\ce {BeO}}}$, ${\displaystyle {\ce {GaN}}}$	菱形台形十二面体の2等分＋菱形台形十二面体の2等分
ヒ化ニッケル型構造	B8-1		${\displaystyle {\ce {NiAs}}}$, ${\displaystyle {\ce {AuSn}}}$, ${\displaystyle {\ce {CoTe}}}$, ${\displaystyle {\ce {CrSe}}}$	菱形台形十二面体＋菱形十二面体
一酸化鉛型構造	B10		${\displaystyle {\ce {PbO}}}$, ${\displaystyle {\ce {FeSe}}}$, ${\displaystyle {\ce {FeS}}}$	正八面体の片側4面に正四面体の4等分の三角錐を貼り付けた16面体＋正四面体
蛍石型構造	C1		${\displaystyle {\ce {CaF2}}}$, ${\displaystyle {\ce {CeO2}}}$	正八面体＋正四面体
黄鉄鉱型構造	C2		${\displaystyle {\ce {FeS2}}}$, ${\displaystyle {\ce {AuSb2}}}$, ${\displaystyle {\ce {CaC2}}}$, ${\displaystyle {\ce {CoS2}}}$, ${\displaystyle {\ce {MnS2}}}$	立方体＋切稜立方体の二等分
赤銅鉱型構造	C3		${\displaystyle {\ce {Cu2O}}}$, ${\displaystyle {\ce {Ag2O}}}$, ${\displaystyle {\ce {Pb2O}}}$	正八面体＋正四面体（空隙あり）
ルチル型構造	C4		${\displaystyle {\ce {TiO2}}}$, ${\displaystyle {\ce {MgF2}}}$, ${\displaystyle {\ce {MnF2}}}$, ${\displaystyle {\ce {NiF2}}}$, ${\displaystyle {\ce {ZnF2}}}$	菱形六面体＋菱形2面・台形2面・三角形2面からなる六面体
ヨウ化カドミウム型構造	C6		${\displaystyle {\ce {CdI2}}}$	菱形十二面体＋菱形十二面体
フッ化ビスマス型構造	D0-3		${\displaystyle {\ce {BiF3}}}$, ${\displaystyle {\ce {BiFe3}}}$, ${\displaystyle {\ce {AlFe3}}}$	切頂八面体＋切頂八面体
酸化レニウム型構造	D0-9		${\displaystyle {\ce {ReO3}}}$, ${\displaystyle {\ce {Cu3N}}}$, ${\displaystyle {\ce {O3W}}}$, ${\displaystyle {\ce {O3U}}}$	重四角錐台＋立方体
${\displaystyle {\ce {Ni4Mo}}}$型構造	D1-a		${\displaystyle {\ce {Ni4Mo}}}$, ${\displaystyle {\ce {Ag4Lu}}}$, ${\displaystyle {\ce {Ag4Sc}}}$, ${\displaystyle {\ce {Au4Cr}}}$	扁平な切頂八面体＋扁平な切頂八面体
${\displaystyle {\ce {Al4Ba}}}$型構造	D1-3		${\displaystyle {\ce {Al4Ba}}}$, ${\displaystyle {\ce {ThCu2Si2}}}$, ${\displaystyle {\ce {ThCr2Si2}}}$	四面体＋四角錐＋直方体
ホウ化カルシウム型構造	D2-1		${\displaystyle {\ce {B6Ca}}}$	切頂八面体＋切頂八面体の6等分
${\displaystyle {\ce {CaCu5}}}$型構造	D2-d		${\displaystyle {\ce {CaCu5}}}$, ${\displaystyle {\ce {Ag5Ba}}}$, ${\displaystyle {\ce {CePt5}}}$, ${\displaystyle {\ce {Ag3Al2La}}}$	六角柱＋四角柱＋三角柱
コランダム型構造	D5-1		α-${\displaystyle {\ce {Al2O3}}}$	立方体＋正方形台形11面体
ペロブスカイト型構造	E2-1		${\displaystyle {\ce {CaTiO3}}}$, ${\displaystyle {\ce {LiNbO3}}}$, ${\displaystyle {\ce {CaZrO3}}}$	大菱形立方八面体＋切頂八面体＋立方体
ウルマナイト型構造	F0-1		${\displaystyle {\ce {NiSSb}}}$, ${\displaystyle {\ce {AsBaPt}}}$, ${\displaystyle {\ce {AsPdS}}}$, ${\displaystyle {\ce {BiIrS}}}$
スピネル型構造	H1-1		${\displaystyle {\ce {MgAl2O4}}}$, ${\displaystyle {\ce {CaIn2S4}}}$, ${\displaystyle {\ce {Al2CdS4}}}$	切頂八面体から屋根型3つと三角錐1つを取り去った13面体＋直方体＋四面体（空隙あり）
リン酸銀型構造	H2-1		${\displaystyle {\ce {Ag3PO4}}}$	四面体＋四面体＋四角形8面・三角形12面の20面体の二等分（小さい八面体の空隙あり）
CuAuⅠ型構造	L1-0		${\displaystyle {\ce {CuAu}}}$, ${\displaystyle {\ce {TiAl}}}$, ${\displaystyle {\ce {NiPt}}}$, ${\displaystyle {\ce {CoPt}}}$, ${\displaystyle {\ce {FePd}}}$	菱形12面体＋菱形12面体
Ｋ4結晶構造			${\displaystyle {\ce {SrSi2}}}$中の${\displaystyle {\ce {Si}}}$, ${\displaystyle {\ce {BaSi2}}}$中の${\displaystyle {\ce {Si}}}$

• 今野 豊彦『物質の対称性と群論』共立出版、2001年。ISBN 978-4320034099。
• 『粉末X線解析の実際』日本分析化学会X線分析研究懇談会、朝倉書店、2002年。ISBN 4-254-14059-2。

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• Flash Crystal Viewer
• Atomwork - 無機材料データベース (国立研究開発法人 物質・材料研究機構）
• AFlow - material database (Duke University, North Carolina)
• 『結晶構造』 - コトバンク