線形多自由度系の振動

多自由度系では多数の変数や係数を扱うため、行列とベクトルを使って運動方程式を記す[19]。自由度が n の線形多自由度系の一般的な運動方程式は、次のように書き表される[20]。

${\displaystyle {\boldsymbol {M{\ddot {x}}}}+{\boldsymbol {C{\dot {x}}}}+{\boldsymbol {Kx}}={\boldsymbol {f}}}$

(2.1)

ここで、ẍ, ẋ, x, f は n 次元縦ベクトル、M, C, K は n 次正方行列で、以下のように表される[21]。

${\displaystyle {\boldsymbol {\ddot {x}}}={\begin{pmatrix}{\ddot {x}}_{1}\\{\ddot {x}}_{2}\\\vdots \\{\ddot {x}}_{n}\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {\dot {x}}}={\begin{pmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\\\vdots \\{\dot {x}}_{n}\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {f}}={\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\\\vdots \\f_{n}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}={\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}&\cdots &m_{1n}\\m_{21}&m_{22}&\cdots &m_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\m_{n1}&m_{n2}&\cdots &m_{nn}\end{pmatrix}}}$

(2.2)

${\displaystyle {\boldsymbol {C}}={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&\cdots &c_{1n}\\c_{21}&c_{22}&\cdots &c_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{n1}&c_{n2}&\cdots &c_{nn}\end{pmatrix}}}$

(2.3)

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}={\begin{pmatrix}k_{11}&k_{12}&\cdots &k_{1n}\\k_{21}&k_{22}&\cdots &k_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\k_{n1}&k_{n2}&\cdots &k_{nn}\end{pmatrix}}}$

(2.4)

x は変位ベクトルと呼ばれる[22]。その成分の x は、静的な釣り合いの位置を原点とした各自由度の変位あるいは一般化座標を表している[23]。ẋ は速度ベクトル、ẍ は加速度ベクトルと呼ばれる[24]。成分の ẋ は x の時間1階微分すなわち各自由度の速度を意味し、ẍ は x の時間2階微分すなわち各自由度の加速度を意味する[25]。

f は外力ベクトルと呼ばれる[26]。成分の f は各一般化座標に対応して作用する外力で、一般的には時間の関数である[27]。

M は質量行列や慣性行列、質量マトリックスや慣性マトリックスと呼ばれる[28]。K は剛性行列や剛性マトリックスと呼ばれる[29]。C は減衰行列や減衰マトリックスと呼ばれる[30]。各成分の m, c, k は質量、粘性減衰係数、剛性（ばね定数）を表す[31]。ここでの m は慣性係数ともいい、いわゆる質量だけでなく慣性モーメントなども含む[32]。また、k は復元係数ともいい、通常のばね定数の他に回転ばね定数なども含む[32]。

線形多自由度系の一般基礎式2.1は、線形1自由度系の基礎式1.1と形式は同じで、変位と外力がベクトルに、質量とばね定数と粘性減衰係数が行列に置き換わった式となる[33]。ただし、対象の系の規模が大きくなり、複雑なものとなると、ニュートンの運動法則から運動方程式を導出するのは容易ではない[34]。実際に多自由度系の運動方程式を立てる際は、エネルギーのスカラー量から形式的に運動方程式を導けるラグランジュの運動方程式が便利で、間違いを犯しにくく、多用されている[35]。

2層構造物の揺れのモデリング

建築物の例では、複数の階を持つ多層構造物が多自由度系の問題となる[36]。柱と床から構成されるラーメン構造の建物が振動する場合を考える。柱は床に比べて柔らかいので、構造物が揺れるとき各階の床は水平方向に揺れ、柱は水平方向のばねとして働くと見なせる[37]。これは、水平方向のみに動く2つの質点をばねで連結した2自由度系モデルと等価となる[38]。2層構造物における、1層目の床質量を m₁、2層目の床質量を m₂、1層目の水平変位を x₁、2層目の水平変位を x₂、基礎と1層目の間の等価ばね定数を k₁、1層目と2層目の間の等価ばね定数を k₂ とすると、このモデルの運動方程式は

${\displaystyle {\begin{cases}m_{1}{\ddot {x}}_{1}+(k_{1}+k_{2})x_{1}-k_{2}x_{2}=0\\m_{2}{\ddot {x}}_{2}-k_{2}x_{1}+k_{2}x_{2}=0\end{cases}}}$

(2.5)

となる[39]。行列表示すれば、

${\displaystyle {\begin{pmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\ddot {x}}_{1}\\{\ddot {x}}_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$

(2.6)

となり、この式では、${\displaystyle {\begin{pmatrix}m_{1}&0\\0&m_{2}\end{pmatrix}}}$が質量行列、${\displaystyle {\begin{pmatrix}k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\-k_{2}&k_{2}\end{pmatrix}}}$が剛性行列である[39]。

自動車の上下振動とピッチング振動の簡易モデル

並進運動と回転運動が組み合わさった2自由度系の例として、自動車の上下振動とピッチング振動の簡易モデルがある[40]。自動車を側面から見て、上下方向変位とピッチング回転だけの動きを考える。前位側のタイヤとサスペンションを1つのばねと見なして、後位側のタイヤとサスペンションも同様に1つのばねと見なし、剛体を前位と後位を2つのばねが支えているモデルを考える[41]。前位側と後位側のばねのばね定数をそれぞれ k₁、k₂ とする。剛体の重心位置から前位側のばねまでの距離を l₁、前位側のばねまでの距離を l₂ とする。剛体の質量を m、重心位置周りのピッチング方向の慣性モーメントを I_G とする。この剛体の重心の上下運動 x とその周りのピッチング運動 θ の運動方程式は次のようになる[42]。

${\displaystyle {\begin{cases}m{\ddot {x}}+(k_{1}+k_{2})x+(k_{2}l_{2}-k_{1}l_{1})\theta =0\\I_{G}{\ddot {\theta }}+(k_{2}l_{2}-k_{1}l_{1})x+(k_{2}l_{2}^{2}+k_{1}l_{1}^{2})\theta =0\end{cases}}}$

(2.7)

自動車の上下振動とピッチング振動の簡易モデルである式2.7において、もし k₁l₁ = k₂l₂ であれば、x と θ は互いに独立した運動方程式となる[43]。この条件では運動方程式は

${\displaystyle {\begin{cases}m{\ddot {x}}+(k_{1}+k_{2})x=0\\I_{G}{\ddot {\theta }}+(k_{2}l_{2}^{2}+k_{1}l_{1}^{2})\theta =0\end{cases}}}$

(2.8)

となり、2つの式はそれぞれ単独で解くことができる[44]。すなわち、x の振動と θ の振動が、互いに干渉すること無しに独立して起こる状態になっている[45]。このような状態を非連成という[43]。運動方程式が単独では解けない連立方程式になっているとき、方程式は連成しているといい、式2.7の (k₁l₁ − k₂l₂)x と (k₁l₁ − k₂l₂)θ は連成項と呼ばれる[46][47]。k₁l₁ = k₂l₂ のときに、これら連成項が 0 になり、x と θ が独立した運動になる[48]。連成状態にある系を連成系、逆に各自由度の運動が完全に独立している系を非連成系と呼ぶ[26]。

一般に、質量行列 M（式2.2）、減衰行列 C（式2.3）、剛性行列 K（式2.4）における非対角成分の存在は、振動が連成していることを示している[49]。もし系が非連成系であれば、これら全ての行列は、非対角成分が全て 0 の対角行列となる[33]。特に、質量行列が非対角成分によって振動が連成していることを動連成や動的連成といい、質量行列の非対角成分を動連成項という[50][51]。また、剛性行列が非対角行列であれば静連成や静的連成といい、剛性行列の非対角成分を静連成項という[50][51]。多自由度系の問題は概して複雑で、個々のパラメータが結果に与える影響の見通しを立てることが難しい[52]。多自由度系では一般的に連成が存在し、これが多自由度系の解析を難しいものにしている[19]。動力学的な設計を行う上では、系を非連成化して影響をわかりやすくすることが有効となる[52]。

継続的な外力が作用せず、外乱だけが与えられて起こる振動を自由振動という[53]。自由振動の振動は、系自体が持つ特性によって決まり、系の動特性を知る上で重要な振動の形態である[54]。自由振動は減衰要素が存在しない場合と存在する場合に分かれる[55]。減衰要素と励振力が存在しない場合の式2.1は

${\displaystyle {\boldsymbol {M{\ddot {x}}}}+{\boldsymbol {Kx}}=\mathbf {0} }$

(3.1)

となる[56]。ここで、0 は下記のようなゼロベクトルである。

${\displaystyle \mathbf {0} ={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}}$

さらに、M と K は正定値であると仮定する。すなわち、M と K は成分が全て実数の対称行列で、それらの二次形式は常に正となる[57]。実際に、質量行列と剛性行列が正定値行列であることは線形多自由度系の一般的な特徴であり、多くの振動系でこの仮定は満たされる[58]。この条件を満たす M と K を前提にすれば、振動系の具体的な構成に依存しない一般性の高い議論を展開できる[59]。

式3.1は定数係数の線形常微分方程式であるため、その解法に従って解を

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {u}}e^{\lambda t}}$

(3.2)

という形式で仮定できる[60]。ここで e はネイピア数、λ は未知定数、 u は n 個の未知定数 u から成る下記のような縦ベクトルである。

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}={\begin{pmatrix}u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\u_{n}\end{pmatrix}}}$

式3.1に対して仮定として与えられる解には、他に、最初から単振動を仮定して複素指数関数や三角関数の形式もある[61]。

式3.2を式3.1に代入して整理すると下記のような式になる[56]。

${\displaystyle (\lambda ^{2}{\boldsymbol {M}}+{\boldsymbol {K}}){\boldsymbol {u}}e^{\lambda t}=\mathbf {0} }$

(3.3)

この式が恒等的に成り立つには下記の条件が満たされる必要がある[56]。

${\displaystyle (\lambda ^{2}{\boldsymbol {M}}+{\boldsymbol {K}}){\boldsymbol {u}}=\mathbf {0} }$

(3.4)

数学的には、この形式の方程式は一般化固有値問題として知られ、λ² は固有値、u は固有ベクトルと呼ばれる[62]。u = 0 であれば式3.4の条件は満たされるが、これは最初の釣り合いの位置からそのまま静止しているだけ状態を意味する解である[63]。よって、ここでは u = 0 は興味の対象外で、それ以外の式3.4を満たす λ と u について知りたい[63]。u ≠ 0 で、なおかつ式3.4が満たされる条件は、U の係数行列 λ² M + K の逆行列が存在しないことである[60]。したがって、係数行列の行列式が 0 であればこの条件が満たされる[60]。したがって、λ が、

${\displaystyle {\mbox{det}}(\lambda ^{2}{\boldsymbol {M}}+{\boldsymbol {K}})=0}$

(3.5)

を満たすとき、式3.4が u = 0 以外の解を持つ[60]。ここで、det( ) は行列式を表す。式3.5の行列式を展開すると、 λ² についての n 次多項式になる[60]。したがって、原理的には λ² の値を求めることができる[60]。ただし、この多項式を解析的に解くことができるのはせいぜい2自由度あるいは3自由度までで、それ以上の自由度の系になると数値解析で固有値を計算する[64]。ヤコビ法などを使って数値計算するときは、コレスキー分解を使い、一般化固有値問題形式の3.4を標準的な固有値問題の形へ変換する[65]。

上記のとおり、M と K は正定値であると仮定した。このとき、式3.5の解は全て負の実数となる[60]（解を複素指数関数と仮定した場合は全て正の実数[66]）。したがって、n 個の λ² の解を

${\displaystyle \lambda ^{2}=-\omega _{1}^{2},\ -\omega _{2}^{2},\ \cdots ,\ -\omega _{n}^{2}}$

(3.6)

とおくことができ、平方根を取って 2n 個のλ の値

${\displaystyle \lambda =\pm j\omega _{1},\ \pm j\omega _{2},\ \cdots ,\ \pm j\omega _{n}}$

(3.7)

が得られる[67]。ここで j は虚数単位である。n　個の ω は固有角振動数または固有円振動数と呼ばれ、値が小さいものから順に1次、2次、…、n 次の固有角振動数と呼ぶ[68]。特に、最も値が小さい1次の固有角振動数は基本振動数と呼ばれる[69]。式3.5は角振動数を求める式であるため振動数方程式と呼ばれる[69]。あるいは、式3.5は M や K といった系の特性によって構成される式であることから特性方程式とも呼ぶ[69]。

得られた固有値あるいは固有角振動数の値を式3.4に代入すれば、0 以外の u の解が得られる[70]。ここで得られる u の各成分は一意な値を持たず、定まるのは各成分の互いの比 u₁ : u₂ : … : u_n だけである[71]。一つの固有値あるいは固有角振動数に対応して一つの u が定まり、u は n 個存在する[72]。このような固有値と固有ベクトルの組は固有ペアと呼ばれる[73]。r 次の固有角振動数 ω_r に対応する u を u_r を表現すれば、 u_r は

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{r}={\begin{pmatrix}u_{1r}\\u_{2r}\\\vdots \\u_{nr}\end{pmatrix}}}$

(3.8)

というベクトルである[74]。ただし、上記のとおり、各成分 u_1r, u_2r, …, u_nr は互いの比の値を表している[74]。

式2.5で表現される2層構造物振動モデルの固有モードの例[75]。k₁ = k₂, m₁ = m₂ の場合を示しており、各固有モードの成分の内の一番大きな絶対値が1となるようにして値を定めている。

式3.8で表されるベクトルが式3.4における固有ベクトルであり、振動工学では固有モード、振動モード、固有振動モード、基準振動モード、モードベクトルなどと呼ぶ[76]。n 自由度系には n 個の固有角振動数があり、固有角振動数それぞれに対応する形で n 個の固有モードが存在している[77]。各自由度の振幅比を決める固有モードは、固有角振動数が「振動の速さ」を表しているのに対して、「振動の形」を表していると言える[78]。自由度の数の分だけ固有角振動数が存在し、それら固有角振動数に対応して固有モードが存在していることが、線形多自由度系の特有な性質といえる[79]。

各々の固有モードを、対応する固有角振動数が小さい順に1次固有モード、2次固有モード、…、r 次固有モード、…、n 次固有モードと呼ぶ[80]。特に、基本振動数（1次の固有角振動数）に対応する固有モードは基本モードと呼ばれる[69]。固有モード u_r を次数が低い順に並べて作る、下記のような行列をモード行列やモードマトリックスという[81]。

${\displaystyle {\boldsymbol {U}}=({\boldsymbol {u}}_{1},\ {\boldsymbol {u}}_{2},\ \cdots ,\ {\boldsymbol {u}}_{n})={\begin{pmatrix}u_{11}&u_{21}&\cdots &u_{1n}\\u_{21}&u_{22}&\cdots &u_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\u_{n1}&u_{n2}&\cdots &u_{nn}\end{pmatrix}}}$

(3.9)

多自由度系の固有モードには直交性という重要な性質がある[82]。r 次の固有モード u_r と s 次の固有モード u_s について考える。ここで、r と s は任意だが、r ≠ s である。M と K は上記のとおり対称行列とする。このとき、 u_r, u_s, M, K には次のような関係がある[83]。

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{r}^{\top }{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {u}}_{s}=0}$

(3.10)

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{r}^{\top }{\boldsymbol {K}}{\boldsymbol {u}}_{s}=0}$

(3.11)

ここで、u_r^⊤ は u_r の転置行列を表している。これらの式は u_r と Mu_s の内積および u_r と Mu_s の内積が零であることを示しており、M と K に関して u_r と u_s が直交していることを意味している[84]。これが質量行列および剛性行列を介した固有モードの直交性である[85]。別の言い回しでは u_r と u_s が一般直交性を有しているともいう[86]。

固有モードの直交性の物理的な意味は、次数の異なる固有モードの振動の間で力学的エネルギーの移動が全く起きないことを表している[87]。ある固有モードの振動において、運動エネルギーと復元力によるポテンシャルエネルギーは時間的に変化しているが、それらの和の力学的エネルギーは時間に依らず一定に保たれている[88]。そのため、自由振動中にある固有モードの振動が他の固有モードに移り変わったり、他の固有モードが新たに誘起されたりすることはない[89]。

一方で、r = s、すなわち同じ次数同士の固有モードの場合は、上記の式でも左辺は 0 とはならず、ある定数となる[90]。これらの定数を M_r と K_r と表せば、

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{r}^{\top }{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {u}}_{r}=M_{r}}$

(3.12)

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{r}^{\top }{\boldsymbol {K}}{\boldsymbol {u}}_{r}=K_{r}}$

(3.13)

と表される[90]。固有モード u_r は成分間の比だけを持ち、定まった値を持たないので、M_r と K_r の値もこの段階では定まらない[91]。固有モードの絶対値が決まった後に、M_r と K_r の値も定まる[91]。

定数 M_r と K_r は正の値であり、それぞれを（r 次の）モード質量およびモード剛性という[92]。モード行列を使って式3.12と式3.13を表せば、

${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{\top }{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {U}}={\begin{pmatrix}M_{1}&0&\cdots &0\\0&M_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &M_{n}\end{pmatrix}}}$

(3.14)

${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{\top }{\boldsymbol {K}}{\boldsymbol {U}}={\begin{pmatrix}K_{1}&0&\cdots &0\\0&K_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &K_{n}\end{pmatrix}}}$

(3.15)

となる[93]。モード質量とモード剛性は、同じ次数の固有角振動数 ω_r と下記のような関係がある[90]。

${\displaystyle \omega _{r}={\sqrt {\frac {K_{r}}{M_{r}}}}}$

(3.16)

固有モードは比の関係を定めるベクトルであった。絶対的な大きさを持たない固有モードに大きさを定める方法として、次のような方法がある。

1. 下記のように、式3.12の右辺 M_r の値が 1 となるように定める[94]。ここで、ū_r は、等式を満たすに大きさが決定された固有モードを意味している。

   ${\displaystyle {\boldsymbol {\overline {u}}}_{r}^{\top }{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {\overline {u}}}_{r}=1}$

   (3.17)

2. 下記のように、同じ次数の固有モード同士の内積が 1 となるように定める[95]。

   ${\displaystyle {\boldsymbol {\overline {u}}}_{r}^{\top }{\boldsymbol {\overline {u}}}_{r}=1}$

   (3.18)

3. 固有モードの成分の内、絶対値が最大のものを 1 とおいて定める[96]。
4. 1番目の自由度に対応する固有モード成分 (u_1r) を 1 とおいて定める[97]。

以上のように固有モードの大きさを一意に定めることを正規化と呼び、正規化された固有モード ū_r を正規固有モードや正規化モードと呼ぶ[98]。1番目の手法による正規固有モードは、特に質量正規固有モードやM-正規固有モードという名で呼ばれる[99]。式3.17を満たすようにしておくと利点が多く、質量正規固有モードはよく使われる[100]。正規固有モード ū_r を並べて作る下記のような行列を、正規モード行列という[92]。

${\displaystyle {\boldsymbol {\overline {U}}}=({\boldsymbol {\overline {u}}}_{1},\ {\boldsymbol {\overline {u}}}_{2},\ \cdots ,\ {\boldsymbol {\overline {u}}}_{n})={\begin{pmatrix}{\overline {u}}_{1,1}&{\overline {u}}_{1,2}&\cdots &{\overline {u}}_{1,n}\\{\overline {u}}_{1,2}&{\overline {u}}_{2,2}&\cdots &{\overline {u}}_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\overline {u}}_{1,n}&{\overline {u}}_{n,2}&\cdots &{\overline {u}}_{n,n}\end{pmatrix}}}$

(3.19)

質量正規固有モードを採用すると、式3.17に対して剛性行列は固有角振動数と

${\displaystyle {\boldsymbol {\overline {u}}}_{r}^{\top }{\boldsymbol {K}}{\boldsymbol {\overline {u}}}_{r}=\omega _{r}^{2}}$

(3.20)

という関係を持つ[101]。

固有モード（固有ベクトル）は互いに直交なので、これらを使った線形結合で変位ベクトル x を表すことができる[102]。つまり、固有モード U を用いて、x を

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=q_{1}{\boldsymbol {\overline {u}}}_{1}+q_{2}{\boldsymbol {\overline {u}}}_{2}+\dots +q_{n}{\boldsymbol {\overline {u}}}_{n}={\boldsymbol {{\overline {U}}q}}}$

(3.21)

と表すことができる[103]。ここで、q は時間の未知関数で、モード座標、基準座標、正規座標、規準座標、主座標などと呼ばれる[104]。特に正規化した固有モードを使っているモード座標を指して、正規座標と呼ぶこともある[105]。q は q_r を 1 次から n 次まで並べた次のような縦ベクトルである。

${\displaystyle {\boldsymbol {q}}={\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\\\vdots \\q_{n}\end{pmatrix}}}$

モード座標 q に対して、元の座標 x を物理座標と呼ぶ[106]。3.21は、正規固有モードを介して物理座標をモード座標に変換していることを意味する[106]。モード座標 q_r は、x に対して r 次固有モードū_r が寄与する度合いを表しているとも言える[107]。式3.21は展開定理とも呼ばれる[108]。

式3.21を運動方程式3.1へ代入して、左から転置したモード行列 U^⊤ を掛けると次のようになる[109]。

${\displaystyle {\boldsymbol {U^{\top }MU{\ddot {q}}}}+{\boldsymbol {U^{\top }KUq}}=\mathbf {0} }$

(3.22)

固有モードの直交性（式3.14と式3.15）を上式に当てはめると、

${\displaystyle {\begin{cases}M_{1}{\ddot {q}}_{1}+K_{1}q_{1}=0\\M_{2}{\ddot {q}}_{2}+K_{2}q_{2}=0\\\vdots \\M_{n}{\ddot {q}}_{n}+K_{n}q_{n}=0\\\end{cases}}}$

(3.23)

というような q に関する n 個の運動方程式が得られる[109]。それぞれの式の両辺を M_r で割ると、下記のような形になる[109]。

${\displaystyle {\begin{cases}{\ddot {q}}_{1}+\omega _{1}^{2}q_{1}=0\\{\ddot {q}}_{2}+\omega _{2}^{2}q_{2}=0\\\vdots \\{\ddot {q}}_{n}+\omega _{n}^{2}q_{n}=0\\\end{cases}}}$

(3.24)

式2.7で表現される自動車の上下・ピッチング振動モデルの振動の例。図はピッチング θ の振動を示している。パラメータは m = 1600 kg, I_G = 2500 kg-m², k₁ = 3500 N/m, k₂ = 4100 N/m, l₁ = 1.4 m, l₂ = 1.6 m で[48]、初期条件は上下変位速度が ẋ = 1 m/s で他は全て 0 という条件の例。

式3.24は非連成化されており、各式はそれぞれ独立している[110]。そのため、一つ一つの式は1自由度系の不減衰自由振動と同じであるから、q の各解は以下のようになる[110]。

${\displaystyle {\begin{cases}q_{1}=c_{1}\sin(\omega _{1}t+\theta _{1})\\q_{2}=c_{n}\sin(\omega _{2}t+\theta _{2})\\\vdots \\q_{n}=c_{n}\sin(\omega _{n}t+\theta _{n})\\\end{cases}}}$

(3.25)

ここで、c_r と θ_r (r = 1, 2, …, n) は初期条件で決まる定数で、c_r が振幅、θ_r が初期位相を意味する[110]。x の一般解は、式3.25を式3.21に代入して

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\sum _{r=1}^{n}{\boldsymbol {\overline {u}}}_{r}C_{r}\sin(\omega _{r}t+\theta _{r})}$

(3.26)

と得られる[110]。すなわち、n 自由度系における各自由度の自由振動は、n 個の調和振動の重ね合わせ（和）となっており、それら調和振動のそれぞれの振動数は 1 次から n 次までの固有角振動数となっている[111]。固有モードは、対応する固有角振動数を持つ調和振動成分の各自由度間の振幅比を定めている[112]。位相角を陽に表さずに、余弦関数と正弦関数の和

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\sum _{r=1}^{n}{\boldsymbol {\overline {u}}}_{r}(a_{r}\cos \omega _{r}t+b_{r}\sin \omega _{r}t)}$

(3.27)

や、指数の正負が異なる複素指数関数の和

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\sum _{r=1}^{n}{\boldsymbol {\overline {u}}}_{r}(d_{r}e^{i\omega _{r}t}+g_{r}e^{-i\omega _{r}t})}$

(3.28)

といった形で一般解を表すこともできる[113]。a_r, b_r, d_r, g_r も初期条件で決まる定数で、式3.27と式3.27は式3.26へ式変形可能な同値な式である[113]。

以上のような、物理座標をモード座標へ変換し、固有モードの直交性を利用して多自由度系の問題を1自由度系の重ね合わせの問題に帰着させ、解析を行う手法をモード解析（特にモード重畳法）という[114][115]。後述のように、モード解析は特に有限要素法へ適用することで有効性を発揮する[116]。実物の振動特性を求める上でもモード解析の理論を適用することで各特性を同定でき、この手法は実験モード解析と呼ばれる[117]。

基礎の上でばねと減衰器が一組となって質点と連結し、直列に連なった3自由度減衰系の例

減衰行列 C が存在する線形多自由度系の振動について考える。外力が無い場合の n 自由度系の運動方程式は以下のようになる[118]。

${\displaystyle {\boldsymbol {M{\ddot {x}}}}+{\boldsymbol {C{\dot {x}}}}+{\boldsymbol {Kx}}={\boldsymbol {0}}}$

(4.1)

基礎の上でばねと減衰器が一組となって質点と連結し、直列に連なった3自由度減衰系の典型的な例では、M, C, K は次のような行列となる[119]。

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}={\begin{pmatrix}m_{1}&0&0\\0&m_{2}&0\\0&0&m_{3}\end{pmatrix}}}$

(4.2)

${\displaystyle {\boldsymbol {C}}={\begin{pmatrix}c_{1}&-c_{1}&0\\-c_{1}&c_{1}+c_{2}&-c_{2}\\0&-c_{2}&c_{2}+c_{3}\end{pmatrix}}}$

(4.3)

${\displaystyle {\boldsymbol {K}}={\begin{pmatrix}k_{1}&-k_{1}&0\\-k_{1}&k_{1}+k_{2}&-k_{2}\\0&-k_{2}&k_{2}+k_{3}\end{pmatrix}}}$

(4.4)

式4.1の解を式3.2と同じように仮定し、式3.2を式4.1に代入して整理すると、

${\displaystyle (\lambda ^{2}{\boldsymbol {M}}+\lambda {\boldsymbol {C}}+{\boldsymbol {K}}){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}}$

(4.5)

となり、u = 0 以外の解を持つという条件から

${\displaystyle {\mbox{det}}(\lambda ^{2}{\boldsymbol {M}}+\lambda {\boldsymbol {C}}+{\boldsymbol {K}})}$

(4.6)

という特性方程式が得られる[120]。式4.6を展開すると、λ に関する 2n 次多項式となる[120]。この多項式を解いて得た解 λ₁, λ₂, …, λ_2n を式4.5に代入し、u を定め、u に適当な正規化を行う[120]。正規化された各ベクトルを ū₁, ū₂, …, ū_2n と表すと、式4.1の一般解は

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {\overline {u}}}_{1}a_{1}e^{\lambda _{1}t}+{\boldsymbol {\overline {u}}}_{2}a_{2}e^{\lambda _{2}t}+\cdots +{\boldsymbol {\overline {u}}}_{2n}a_{2n}e^{\lambda _{2n}t}}$

(4.7)

となる[120]。ここで、a₁, a₂, …, a_2n は初期条件で決まる定数である[120]。2n 個の λ は、解が減衰振動であれば n 組の互いに共役な複素数になる[120][121]。このとき、固有モードも複素数となり、複素固有モードと呼ばれる[121]。

式4.1のように一般的な減衰行列 C が運動方程式に存在する場合、正規モード行列によって M と K は対角化できるが、C も同時に対角化することはできない[122]。そのため、不減衰自由振動で可能だったモード座標に変換しての非連成化が不可能となり、モード解析の利点を活かすことができなくなる[122]。そこで、C が下記のような比例粘性減衰として与えられると仮定し、実際の振動解析が行われることも多い[122]。

${\displaystyle {\boldsymbol {C}}=\alpha {\boldsymbol {M}}+\beta {\boldsymbol {K}}}$

(4.8)

ここで、α と β は定数で、比例減衰定数と呼ばれる[123]。比例粘性減衰を有する系を比例粘性減衰系などと呼ぶ[124]。比例粘性減衰が成り立つと仮定すれば減衰行列を対角化できる[125]。

式4.8の形で与えられる比例粘性減衰は、特にレイリー減衰やレイリー型減衰と呼ばれる[126]。αM のみで仮定されるものは質量比例型減衰、βK のみで仮定されるものは剛性比例型減衰などと呼ぶ[127]。

実際の減衰が比例粘性減衰になっていることはまれであり、比例粘性減衰はあくまでも近似的なものである[128]。しかし、比例粘性減衰の仮定を導入することで、不減衰系と同じ取り扱いが可能となり、モード解析の手法が適用可能になる[129]。もし減衰が全体に分布しているような構造であれば、適当な比例減衰定数を設定すれば、実際の現象を実用問題ないレベルで再現できるという一定の妥当性もある[130]。減衰は摩擦・材料減衰・流体粘性など様々な要因で起こるため、そもそも減衰の適切な定式化自体が難しいといった事情もある[131]。式2.3のように速度の比例定数として与えられる一般の粘性減衰も、多種多様な発生機構によって減衰が起きるという実情に起因して厳密には成立しない[121]。

式4.8を式4.1に代入した場合、

${\displaystyle {\boldsymbol {M{\ddot {x}}}}+(\alpha {\boldsymbol {M}}+\beta {\boldsymbol {K}}){\boldsymbol {\dot {x}}}+{\boldsymbol {Kx}}={\boldsymbol {0}}}$

(4.9)

という運動方程式になる[132]。解を式3.2のように仮定して上式に代入し、整理すると、

${\displaystyle \{(\lambda ^{2}+\alpha \lambda ){\boldsymbol {M}}+(\beta \lambda +1){\boldsymbol {K}}\}{\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}}$

(4.10)

となる[132]。さらに、

${\displaystyle \gamma ^{2}={\frac {\lambda ^{2}+\alpha \lambda }{\beta \lambda +1}}}$

(4.11)

とおけば、式4.10は

${\displaystyle (\gamma ^{2}{\boldsymbol {M}}+{\boldsymbol {K}}){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {0}}}$

(4.12)

となる[133]。式4.12は、（複素指数関数や三角関数で解を仮定したときの）不減衰振動の固有値問題における λ を γ に置き換えただけの式になる[133]。したがって、比例粘性減衰を仮定した減衰振動の固有モードは、同一の質量行列と剛性行列を有する不減衰振動の固有モードと同じである[134]。

一方、比例粘性減衰を仮定した減衰振動の固有角振動数は、同一の質量行列と剛性行列の不減衰振動の固有角振動数よりも小さくなる[131]。モード行列 U で減衰行列を対角化すると

${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{\top }{\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {U}}={\begin{pmatrix}\alpha M_{1}+\beta K_{1}&0&\cdots &0\\0&\alpha M_{2}+\beta K_{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\alpha M_{n}+\beta K_{n}\end{pmatrix}}}$

(4.13)

となる[125]。この行列の成分 αM_r + βK_r (r = 1, 2, …, n) をモード減衰やモード減衰係数と呼び、 C_r などで表す[135]。ここで、M_r はモード質量、K_r はモード剛性である。さらに、

${\displaystyle C_{c,r}=2{\sqrt {M_{r}K_{r}}}}$

(4.14)

という量を導入して、これでモード減衰を割った量

${\displaystyle \zeta _{r}={\frac {C_{r}}{C_{c,r}}}={\frac {\alpha M_{r}+\beta K_{r}}{2{\sqrt {M_{r}K_{r}}}}}}$

(4.15)

をモード減衰比と呼ぶ[136]。多自由度系の減衰系では固有モードごとに減衰の効果が異なっており、モード減衰比が固有モードごとの減衰の効果の程度を表している[137]。ζ_r ≥ 1 ならば過減衰の状態であり、その固有モードの振動は起こらない[137][131]。ζ_r < 1 ならば減衰振動となり、その固有角振動数は

${\displaystyle \omega _{d,r}=\omega _{r}{\sqrt {1-\zeta _{r}^{2}}}}$

(4.16)

で与えられる[131]。ω_d,r を減衰固有角振動数と呼ぶ[138]。以上のように、線形1自由度系の減衰振動の考え方が固有モードごとの振動にも当てはまる[131]。正規座標へ変換を行い、モード減衰比と固有角振動数を用いて運動方程式を表すと、下記のように表現できる[138]。

${\displaystyle {\begin{cases}{\ddot {q}}_{1}+2\zeta _{1}\omega _{1}{\dot {q}}_{1}+\omega _{1}^{2}q_{1}=0\\{\ddot {q}}_{2}+2\zeta _{2}\omega _{2}{\dot {q}}_{2}+\omega _{2}^{2}q_{2}=0\\\vdots \\{\ddot {q}}_{n}+2\zeta _{r}\omega _{r}{\dot {q}}_{r}+\omega _{n}^{2}q_{n}=0\\\end{cases}}}$

(4.17)

ζ_r < 1 であれば、q_r の一般解は積分定数を a_r と b_r として、

${\displaystyle q_{r}=e^{-\zeta _{r}\omega _{r}t}(a_{r}\cos \omega _{d,r}t+b_{r}\sin \omega _{d,r}t)}$

(4.18)

となる[138]。物理座標 x へ逆変換すれば、比例粘性減衰系の自由振動の一般解は下記のようになる[138]。

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\sum _{r=1}^{n}{\boldsymbol {\overline {u}}}_{r}e^{-\zeta _{r}\omega _{r}t}(a_{r}\cos \omega _{d,r}t+b_{r}\sin \omega _{d,r}t)}$

(4.19)

任意の励振力を受ける減衰の無い系の運動方程式は以下のように表される[139]。

${\displaystyle {\boldsymbol {M{\ddot {x}}}}+{\boldsymbol {Kx}}={\boldsymbol {f}}}$

(5.1)

例えば、励振力が角振動数 Ω の余弦関数で与えられるとすれば、

${\displaystyle {\boldsymbol {M{\ddot {x}}}}+{\boldsymbol {Kx}}={\boldsymbol {f_{a}}}\cos {\mathit {\Omega }}t}$

(5.2)

となる[140]。ここで、f_a は、以下のような各自由度に対する励振力の振幅値の縦ベクトルである。

${\displaystyle {\boldsymbol {f_{a}}}={\begin{pmatrix}f_{a,1}\\f_{a,2}\\\vdots \\f_{a,n}\end{pmatrix}}}$

式5.2に対して特解を x = u cosΩt と仮定し、式5.2に代入すれば

${\displaystyle ({\boldsymbol {M}}-{\mathit {\Omega }}^{2}{\boldsymbol {K}}){\boldsymbol {u}}={\boldsymbol {f_{a}}}}$

(5.3)

となるので、u および x は、

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}=({\boldsymbol {M}}-{\mathit {\Omega }}^{2}{\boldsymbol {K}})^{-1}{\boldsymbol {f_{a}}}}$

(5.4)

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=({\boldsymbol {M}}-{\mathit {\Omega }}^{2}{\boldsymbol {K}})^{-1}{\boldsymbol {f_{a}}}\cos {\mathit {\Omega }}t}$

(5.5)

となる[141]。ここで "⁻¹" は逆行列を意味する。したがって、逆行列 (M − Ω²K)⁻¹ を計算すれば式5.5から x の値が分かる。しかし、この逆行列を解析的に解くことは困難で、数値計算を行うにしても自由度の数が増えると膨大な計算量になる[142]。もし励振力の角振動数 Ω を変えると、そのたびに逆行列を計算する必要がある[143][142]。そのため、実際に x の解を求めるために行われるのは、下記のようなモード解析による手法である[144]。

解を得るために、x を複素数に拡張し、励振力 f を複素指数関数 f_ae ^jΩt の形で与えるとする[145]。この場合、計算して解が得られた後に実部あるいは虚部を取ることで、実際の解が得られる[145]。運動方程式5.1の右辺を 0 としたときのモード行列 U が、事前に求められているとする。モード座標への変換式3.21を運動方程式5.1へ適用して、左から U^⊤ を掛け、式3.14と式3.15の対角化を適用する。すると、励振力を受ける不減衰系の運動方程式は

${\displaystyle {\begin{cases}M_{1}{\ddot {q}}_{1}+K_{1}q_{1}=F_{1}e^{j\omega t}\\M_{2}{\ddot {q}}_{2}+K_{2}q_{2}=F_{2}e^{j\omega t}\\\vdots \\M_{n}{\ddot {q}}_{n}+K_{n}q_{n}=F_{n}e^{j\omega t}\\\end{cases}}}$

(5.6)

という独立・非連成の n 個の運動方程式に帰着する[146]。ただし、右辺の F_r は次のような値である[147]。

${\displaystyle F_{r}={\boldsymbol {u}}_{r}^{\top }{\boldsymbol {f_{a}}}}$

(5.7)

式5.6は線形1自由度系と同じなので、強制振動を表す特解は、

${\displaystyle q_{r}={\frac {F_{r}}{K_{r}-M_{r}{\mathit {\Omega }}^{2}}}e^{j{\mathit {\Omega }}t}}$

(5.8)

となる[148]。式3.21を使ってモード座標を物理座標へ逆変換し、固有角振動数を使って整理すれば強制振動の解は次のようになる[148]。

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\sum _{r=1}^{n}{\frac {F_{r}}{K_{r}-M_{r}{\mathit {\Omega }}^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{r}e^{j{\mathit {\Omega }}t}=\sum _{r=1}^{n}{\frac {F_{r}}{M_{r}(\omega _{r}^{2}-{\mathit {\Omega }}^{2})}}{\boldsymbol {u}}_{r}e^{j{\mathit {\Omega }}t}}$

(5.9)

式5.9から分かることは、励振力の角振動数 Ω が系の固有角振動数 ω₁, ω₂, …, ω_n のどれかに近いとき、係数の極限が 0 となってその振動成分が極めて大きくなり、共振が起こるという点である[149]。Ω が固有角振動数のいずれかに一致するとき、x の振幅は無限大に発散する[150]。

系が比例粘性減衰系であれば、励振力を受ける場合でもモード座標変換によって独立した1自由度系に分解でき、大自由度の問題も扱いが容易になる[151]。一般の運動方程式2.1に、レイリー減衰の式4.8およびモード座標への変換式3.21を代入する。左から転置した質量正規固有モードの正規モード行列 Ū^⊤ を掛けて対角化する。さらに、2ζ_rω_r = α + βω_r² という関係を用いれば、運動方程式は下記のような独立・非連成の n 個の方程式に帰着する[152]。

${\displaystyle {\begin{cases}{\ddot {q}}_{1}+2\zeta _{1}\omega _{1}{\dot {q}}_{1}+\omega _{1}^{2}q_{1}={\boldsymbol {\overline {u}}}_{1}^{\top }{\boldsymbol {f}}\\{\ddot {q}}_{2}+2\zeta _{2}\omega _{2}{\dot {q}}_{2}+\omega _{2}^{2}q_{2}={\boldsymbol {\overline {u}}}_{2}^{\top }{\boldsymbol {f}}\\\vdots \\{\ddot {q}}_{n}+2\zeta _{n}\omega _{n}{\dot {q}}_{n}+\omega _{n}^{2}q_{n}={\boldsymbol {\overline {u}}}_{n}^{\top }{\boldsymbol {f}}\\\end{cases}}}$

(5.10)

励振力 f が f_a cosΩt で与えられるとする。線形1自由度系と同様の解法によって、正規座標 q_r の強制振動の解が下記のように求まる[27]。

${\displaystyle q_{r}={\dfrac {{\boldsymbol {\overline {u}}}_{r}^{\top }{\boldsymbol {f_{a}}}}{\omega _{r}^{2}{\sqrt {\left\{1-\left({\dfrac {\mathit {\Omega }}{\omega _{r}}}\right)^{2}\right\}^{2}+\left\{2\zeta _{r}{\dfrac {\mathit {\Omega }}{\omega _{r}}}\right\}^{2}}}}}\cos({\mathit {\Omega }}t-\phi _{r})}$

(5.11)

${\displaystyle \phi _{r}=\tan ^{-1}\left({\frac {2\zeta _{r}\omega _{r}{\mathit {\Omega }}}{\omega _{r}^{2}-{\mathit {\Omega }}^{2}}}\right)}$

(5.12)

解を複素数で表現した場合は、

${\displaystyle q_{r}={\dfrac {{\boldsymbol {\overline {u}}}_{r}^{\top }{\boldsymbol {f_{a}}}}{\omega _{r}^{2}\left\{1-\left({\dfrac {\omega _{r}}{\mathit {\Omega }}}\right)^{2}+j2\zeta _{r}{\dfrac {\omega _{r}}{\mathit {\Omega }}}\right\}}}e^{j{\mathit {\Omega }}t}}$

(5.13)

となり、物理座標の解は

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\sum _{r=1}^{n}{\frac {\boldsymbol {{\overline {u}}_{r}^{\top }f_{a}{\overline {u}}_{r}}}{\omega _{r}^{2}\left\{1-\left({\dfrac {\mathit {\Omega }}{\omega _{r}}}\right)^{2}+j2\zeta _{r}{\dfrac {\mathit {\Omega }}{\omega _{r}}}\right\}}}e^{j{\mathit {\Omega }}t}}$

(5.14)

となる[27]。Ω/ω_r は強制振動比などと呼ばれる[153]。通常の固有モードの場合は次式となる[154]。

${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\sum _{r=1}^{n}{\frac {\boldsymbol {u_{r}^{\top }f_{a}u_{r}}}{K_{r}\left\{1-\left({\dfrac {\mathit {\Omega }}{\omega _{r}}}\right)^{2}+j2\zeta _{r}{\dfrac {\mathit {\Omega }}{\omega _{r}}}\right\}}}e^{j{\mathit {\Omega }}t}}$

(5.15)

強制振動の特解から、周波数応答関数あるいは伝達関数が求められる[155]。周波数応答関数は、振動系への入力が調和振動の形で与えられるときの、出力と入力の振幅比および位相差を周波数の関数として表す[156]。比例減衰系において、角振動数 Ω の調和外力が q 番目の自由度のみに加わるとする。このときの p 番目の自由度の振動応答は

${\displaystyle G_{pq}(\Omega )=\sum _{r=1}^{n}{\frac {u_{pr}u_{qr}}{K_{r}\left\{1-\left({\dfrac {\mathit {\Omega }}{\omega _{r}}}\right)^{2}+j2\zeta _{r}{\dfrac {\mathit {\Omega }}{\omega _{r}}}\right\}}}}$

(5.16)

と表される[157]。この場合の周波数応答関数 G(Ω) は[変位]/[力]の単位を持ち、コンプライアンスとも呼ばれる[158]。q 番目加振・p 番目応答の周波数応答関数と p 番目加振・q 番目応答の周波数応答関数は、相反定理によって互いに等しく、G_pq(Ω) = G_qp(Ω) の関係である[159]。不減衰系の場合は、周波数応答関数は次式となる[160]。

${\displaystyle G_{pq}(\omega )=\sum _{r=1}^{n}{\frac {u_{pr}u_{qr}}{K_{r}-M_{r}{\mathit {\Omega }}^{2}}}}$

(5.17)

式4.2,4.3,4.4によって与えられた3自由度減衰系の周波数応答関数の応答曲線の例。図は質点 m₃ が加振されたときの質量 m₂ の応答の例。山になっている点が共振点で、谷になっている点が反共振点。

これらの周波数応答関数によって、系の周波数特性が把握できる[161]。線形多自由度系の場合は、固有角振動数と固有モードを求めれば、調和外力による強制振動に対する周波数特性も同時に理解することができる[161]。横軸に振動数や強制振動比を取り、縦軸に調和外力に対する振幅比や位相差を図示したものを応答曲線や共振曲線と呼ぶ[162]。縦軸をデシベルにして図示したものは特にボード線図と呼ばれる[163]。系の振動特性を振動実験から同定する実験モード解析では、実験値に上記の周波数応答関数でカーブフィッティングして系の各種パラメータを推定する[164]。

上述のように、励振力の振動数が系の固有角振動数に一致すると、振動は極大化する。一方、多自由度系では共振して振幅が発散する現象だけでなく、励振力が特定の角振動数のときに周波数応答関数が極小になる現象もある[151]。このような現象を反共振と呼ぶ[151]。ただし、共振が系全体で起こるのに対して、反共振は一組の加振点・応答点ごとにしか起こらない[165]。周波数応答関数の絶対値を縦軸にした応答曲線上では、共振点は曲線の鋭い山のように現れ、反共振は曲線の鋭い谷のように現れる[166]。反共振は、代表的な制振器である動吸振器の原理として活用される[167]。振動を抑えたい対象にばね・ダンパを介して付加質量を取り付けることによって振動を抑制でき、地震や強風に対する建築構造物の防振や回転機械の防振などに使われる[168]。

刺激係数は、地震のように構造物の基礎が揺れている場合に、その励振が各モードに対してどのぐらい強く寄与するのかを表す[169]。構造物を多質点系でモデル化して、基礎の変位を y として、各質点の基礎からの相対変位を x とする。各質点は　ẍ_i + ÿ の加速度を受けるため、運動方程式は

${\displaystyle {\boldsymbol {M{\ddot {x}}}}+{\boldsymbol {C{\dot {x}}}}+{\boldsymbol {Kx}}=-{\boldsymbol {M1}}{\ddot {y}}}$

(5.18)

となる[170]。ここで 1 は成分が全て 1 の縦ベクトルである。式5.18において、C をレイリー減衰で表し、さらに x をモード座標に置き換え、左から転置したモード行列を掛けて整理すれば、下記のような各モード座標についての式になる[169]。

${\displaystyle {\begin{cases}{\ddot {q}}_{1}+2\zeta _{1}\omega _{1}{\dot {q}}_{1}+\omega _{1}^{2}q_{1}=-{\dfrac {\boldsymbol {u_{1}^{\top }M1}}{M_{1}}}{\ddot {y}}\\{\ddot {q}}_{2}+2\zeta _{2}\omega _{2}{\dot {q}}_{2}+\omega _{2}^{2}q_{2}=-{\dfrac {\boldsymbol {u_{2}^{\top }M1}}{M_{2}}}{\ddot {y}}\\\vdots \\{\ddot {q}}_{n}+2\zeta _{n}\omega _{n}{\dot {q}}_{n}+\omega _{n}^{2}q_{n}=-{\dfrac {\boldsymbol {u_{n}^{\top }M1}}{M_{n}}}{\ddot {y}}\\\end{cases}}}$

(5.19)

さらに、上式の ÿ の係数を次のように変形する[169]。

${\displaystyle {\dfrac {\boldsymbol {u_{r}^{\top }M1}}{M_{r}}}={\dfrac {\boldsymbol {u_{r}^{\top }M1}}{\boldsymbol {u_{r}^{\top }Mu_{r}}}}=\beta _{r}}$

(5.20)

この β_r を r 次の刺激係数と呼び、r 次モードの運動方程式は次のようになる[171]。

${\displaystyle {\ddot {q}}_{r}+2\zeta _{r}\omega _{r}{\dot {q}}_{r}+\omega _{r}^{2}q_{n}=-\beta _{r}{\ddot {y}}}$

(5.21)

つまり、β_r は励振加速度が各モードに対してどのぐらい寄与しているか、あるいは各モードは基礎励振に対してどのぐらい影響を受けやすいかを表している[170]。さらに、r 次の刺激係数と固有モードの積を r 次の刺激関数と呼び、刺激関数の総和は次のように 1 に等しい[169]。

${\displaystyle \beta _{1}{\boldsymbol {u}}_{1}+\beta _{2}{\boldsymbol {u}}_{2}+\ \cdots \ +\beta _{n}{\boldsymbol {u}}_{n}={\boldsymbol {1}}}$

(5.22)

すなわち、対称の振動系に 1 という外力ベクトルが加わったときに各モードが受ける度合いを、刺激関数は表している[169]。