自由粒子

本節では${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}$および${\displaystyle \psi _{0}(\mathbf {x} )}$ がxに関して全空間R^d上での絶対可積分性（＝絶対値のR^d上ルベーグ積分が有限値である事）を仮定した上で、(1)、(2)の解を導く。波動関数${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}$、${\displaystyle \psi _{0}(\mathbf {x} )}$は一般には(自乗可積分ではあっても)絶対可積分とは限らないため、この仮定は常に成り立つわけではない。そこで次節ではこのような仮定を置かない一般の場合の解法を述べる。

仮定より${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}$はxに関して絶対可積分であるので、変数xに関するフーリエ変換

${\displaystyle {\hat {\psi }}(\mathbf {p} ,t)={1 \over (2\pi )^{d/2}}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {p} \mathbf {x} /\hbar }\psi (\mathbf {x} ,t)\mathrm {d} \mathbf {x} }$

が定義でき、${\displaystyle {\hat {\psi }}(\mathbf {p} ,t)}$も可積分である。

(1)、(2)の両辺をフーリエ変換する事で、

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}{\hat {\psi }}(\mathbf {p} ,t)={\frac {|\mathbf {p} |^{2}}{2m}}\ {\hat {\psi }}(\mathbf {p} ,t)}$　　　　　　…(1')

${\displaystyle {\hat {\psi }}(\mathbf {p} ,0)={\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {p} )}$ 　　　　　　…(2')

を得る。ここで${\displaystyle {\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {p} )}$は${\displaystyle \psi _{0}(\mathbf {p} )}$のフーリエ変換である。

(1')、(2')は容易に解くことができて、

${\displaystyle {\hat {\psi }}(\mathbf {p} ,t)=\mathrm {exp} \left(-{i \over 2m\hbar }|\mathbf {p} |^{2}t\right){\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {p} )}$

である。

最後に上式をpに関して逆フーリエ変換して、(1)、(2)の一般解

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathrm {exp} \left({i \over \hbar }(\mathbf {p} \mathbf {x} -E(\mathbf {p} )t)\right){\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {p} )\mathrm {d} \mathbf {p} }$ …(a)

を得る^T09:p205。ここで

${\displaystyle E(\mathbf {p} )={|\mathbf {p} |^{2} \over 2m}.}$　　　　...(b)

積のフーリエ逆変換が畳み込み積に対応している事を利用して(a)のフーリエ逆変換を具体的に計算することで、

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=\left({m \over 2\pi i\hbar t}\right)^{n/2}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathrm {exp} \left({im|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{2} \over 2\hbar t}\right)\psi _{0}(\mathbf {y} )\mathrm {d} \mathbf {y} }$ …(c)

と書くこともできる。なお、${\displaystyle \mathrm {exp} \left(-{i \over 2m\hbar }|\mathbf {p} |^{2}t\right)}$がR^d上の可積分関数でない関係で(a)から(c)を直接得ることはできず、代わりに${\displaystyle \mathrm {exp} \left(-{i+\varepsilon \over 2m\hbar }|\mathbf {p} |^{2}t\right)}$を考えてフーリエ逆変換した上で、ε→0とする必要がある^T09:p206。

波動関数${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}$および${\displaystyle \psi _{0}(\mathbf {x} )}$は一般には(自乗可積分ではあっても)絶対可積分とは限らないため、一般の場合の解を得るには前節の議論を修正する必要がある。

前節との違いはフーリエ変換の定義である。${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}$(および${\displaystyle \psi _{0}(\mathbf {x} )}$)の全空間${\displaystyle \mathbf {R} ^{d}}$上での絶対可積分性を仮定していないため、${\displaystyle \mathbf {R} ^{d}}$上のフーリエ積分

${\displaystyle {1 \over (2\pi )^{d/2}}\int _{\mathbf {R} ^{d}}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {p} \mathbf {x} /\hbar }\psi (\mathbf {x} ,t)\mathrm {d} \mathbf {x} }$

は一般には意味を持たない。 そこでまず原点中心の半径rの球体B(0,r)上のフーリエ積分

${\displaystyle {1 \over (2\pi )^{d/2}}\int _{B(0,r)}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {p} \mathbf {x} /\hbar }\psi (\mathbf {x} ,t)\mathrm {d} \mathbf {x} }$

を考え、この積分のL²極限

${\displaystyle {\underset {r\to \infty }{\mathrm {l.\!i.\!m} }}{1 \over (2\pi )^{d/2}}\int _{B(0,r)}\mathrm {e} ^{-i\mathbf {p} \mathbf {x} /\hbar }\psi (\mathbf {x} ,t)\mathrm {d} \mathbf {x} }$

によりフーリエ変換を定義する^新井(p197)。 ここでL²極限l.i.mは以下のように定義される:

${\displaystyle {\underset {r\to \infty }{\mathrm {l.\!i.\!m} }}~F(r)=A{\overset {\mathrm {def} }{\iff }}\lim _{r\to \infty }\int _{\mathbf {R} ^{d}}|F(r)-A|^{2}\mathrm {d} r=0.}$

なお、波動関数${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}$がxに関して自乗可積分である事から、B(0,r)上での${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)}$の絶対可積分性は保証されるので、B(0,r)上のフーリエ積分は意味を持つ。

以上の理由により、一般の場合の解は、(a)、(c)の右辺の積分をL²極限に置き換えた以下のものとなる^T09:p206：

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)={\underset {r\to \infty }{\mathrm {l.\!i.\!m} }}\int _{B(0,r)}\mathrm {exp} \left({i \over \hbar }(\mathbf {p} \mathbf {x} -E(\mathbf {p} )t)\right){\hat {\psi }}_{0}(\mathbf {p} )\mathrm {d} \mathbf {p} }$ 　...(a')

${\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=\left({m \over 2\pi i\hbar t}\right)^{n/2}{\underset {r\to \infty }{\mathrm {l.\!i.\!m} }}\int _{B(0,r)}\mathrm {exp} \left({im|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{2} \over 2\hbar t}\right)\psi _{0}(\mathbf {y} )\mathrm {d} \mathbf {y} }$ ...(c')

ここでE(p)は(b)で定義されたものである。