色差

CIE 1976色差計算式は、初めて定義された色差式であり、CIELAB座標におけるユークリッド距離として計算される。CIELAB色空間は設計当初の意図よりも、特に彩度の大きい領域で知覚的に非均一であることが明らかになってきたため、この計算式はCIE 1994 および 2000の計算式に置き換えられている。 すなわち、彩度が大きい領域では、色差が大きすぎるように計算されてしまう。

L*a*b*色空間において、２つの色 ${\displaystyle ({L_{1}^{*}},{a_{1}^{*}},{b_{1}^{*}})}$ および ${\displaystyle ({L_{2}^{*}},{a_{2}^{*}},{b_{2}^{*}})}$を用いて:

${\displaystyle \Delta E_{ab}^{*}={\sqrt {(L_{2}^{*}-L_{1}^{*})^{2}+(a_{2}^{*}-a_{1}^{*})^{2}+(b_{2}^{*}-b_{1}^{*})^{2}}}}$

${\displaystyle \Delta E_{ab}^{*}\approx 2.3}$ が丁度可知差異に相当する。[6]

CIE 1976計算式は、L*a*b*色空間はそのまま使用し、知覚的非均一性に対応するよう拡張されている。自動車用塗料の許容値から派生された、特定用途の重み付け係数を導入している。[7]

ΔE (1994)は、L*a*b*色空間から計算される、L*C*h*色空間における明度、彩度、色相の差異から算出される。 基準色[8] を${\displaystyle (L_{1}^{*},a_{1}^{*},b_{1}^{*})}$、比較色を ${\displaystyle (L_{2}^{*},a_{2}^{*},b_{2}^{*})}$とすると、色差は:[9][10][11]

${\displaystyle \Delta E_{94}^{*}={\sqrt {\left({\frac {\Delta L^{*}}{k_{L}S_{L}}}\right)^{2}+\left({\frac {\Delta C_{ab}^{*}}{k_{C}S_{C}}}\right)^{2}+\left({\frac {\Delta H_{ab}^{*}}{k_{H}S_{H}}}\right)^{2}}}}$

ここで:

${\displaystyle \Delta L^{*}=L_{1}^{*}-L_{2}^{*}}$

${\displaystyle C_{1}^{*}={\sqrt {{a_{1}^{*}}^{2}+{b_{1}^{*}}^{2}}}}$

${\displaystyle C_{2}^{*}={\sqrt {{a_{2}^{*}}^{2}+{b_{2}^{*}}^{2}}}}$

${\displaystyle \Delta C_{ab}^{*}=C_{1}^{*}-C_{2}^{*}}$

${\displaystyle \Delta H_{ab}^{*}={\sqrt {{\Delta E_{ab}^{*}}^{2}-{\Delta L^{*}}^{2}-{\Delta C_{ab}^{*}}^{2}}}={\sqrt {{\Delta a^{*}}^{2}+{\Delta b^{*}}^{2}-{\Delta C_{ab}^{*}}^{2}}}}$

${\displaystyle \Delta a^{*}=a_{1}^{*}-a_{2}^{*}}$

${\displaystyle \Delta b^{*}=b_{1}^{*}-b_{2}^{*}}$

${\displaystyle S_{L}=1}$

${\displaystyle S_{C}=1+K_{1}C_{1}^{*}}$

${\displaystyle S_{H}=1+K_{2}C_{1}^{*}}$

k_C および k_H は、通常の同じ値をとり、重み係数 k_L、K₁ および K₂ は、適用用途により異なる:

	グラフィック・アーツ	テキスタイル
${\displaystyle k_{L}}$	1	2
${\displaystyle K_{1}}$	0.045	0.048
${\displaystyle K_{2}}$	0.015	0.014

幾何学的には、${\displaystyle \Delta H_{ab}^{*}}$は弦の長さに等しく対応する。 [12]

CIE 1994の定義は、知覚的均一性を十分に確保できていなかったため、CIEは定義を見直し、5箇所の訂正を追加した:[13][14]

• 青色領域 (色相角度275°付近) における問題に対処するための色相回転項 (R_T) :[15]
• 中立色の補正項(L*C*h*の違いにおける最大値)
• 明度補正項 (S_L)
• 彩度補正項 (S_C)
• 色相補正項 (S_H)

${\displaystyle \Delta E_{00}^{*}={\sqrt {\left({\frac {\Delta L'}{k_{L}S_{L}}}\right)^{2}+\left({\frac {\Delta C'}{k_{C}S_{C}}}\right)^{2}+\left({\frac {\Delta H'}{k_{H}S_{H}}}\right)^{2}+R_{T}{\frac {\Delta C'}{k_{C}S_{C}}}{\frac {\Delta H'}{k_{H}S_{H}}}}}}$

注: 以下の式はラジアンでなく度を用いる; 特にR_Tへの影響が大きい。

k_L、 k_C および k_H は、通常同一値。

${\displaystyle \Delta L^{\prime }=L_{2}^{*}-L_{1}^{*}}$

${\displaystyle {\bar {L}}={\frac {L_{1}^{*}+L_{2}^{*}}{2}}\quad {\bar {C}}={\frac {C_{1}^{*}+C_{2}^{*}}{2}}}$

${\displaystyle a_{1}^{\prime }=a_{1}^{*}+{\frac {a_{1}^{*}}{2}}\left(1-{\sqrt {\frac {{\bar {C}}^{7}}{{\bar {C}}^{7}+25^{7}}}}\right)\quad a_{2}^{\prime }=a_{2}^{*}+{\frac {a_{2}^{*}}{2}}\left(1-{\sqrt {\frac {{\bar {C}}^{7}}{{\bar {C}}^{7}+25^{7}}}}\right)}$

${\displaystyle {\bar {C}}^{\prime }={\frac {C_{1}^{\prime }+C_{2}^{\prime }}{2}}{\mbox{ and }}\Delta {C'}=C'_{2}-C'_{1}\quad {\mbox{where }}C_{1}^{\prime }={\sqrt {a_{1}^{'^{2}}+b_{1}^{*^{2}}}}\quad C_{2}^{\prime }={\sqrt {a_{2}^{'^{2}}+b_{2}^{*^{2}}}}\quad }$

${\displaystyle h_{1}^{\prime }={\text{atan2}}(b_{1}^{*},a_{1}^{\prime })\mod 360^{\circ },\quad h_{2}^{\prime }={\text{atan2}}(b_{2}^{*},a_{2}^{\prime })\mod 360^{\circ }}$

注: 逆正接 (tan⁻¹) は通常コンピューター上では、atan2用いて、−π から π ラジアンの範囲でのatan2(b,a') により計算できる。一方で色相は0から360度の範囲であるため、変換が必要である。a' および b がゼロの場合、逆正接は不定値となる (すなわち対応する C' もゼロとなる)。この場合、色相角はゼロを代入する。Sharma 2005, eqn. 7参照のこと。

${\displaystyle \Delta h'={\begin{cases}h_{2}^{\prime }-h_{1}^{\prime }&\left|h_{1}^{\prime }-h_{2}^{\prime }\right|\leq 180^{\circ }\\h_{2}^{\prime }-h_{1}^{\prime }+360^{\circ }&\left|h_{1}^{\prime }-h_{2}^{\prime }\right|>180^{\circ },h_{2}^{\prime }\leq h_{1}^{\prime }\\h_{2}^{\prime }-h_{1}^{\prime }-360^{\circ }&\left|h_{1}^{\prime }-h_{2}^{\prime }\right|>180^{\circ },h_{2}^{\prime }>h_{1}^{\prime }\end{cases}}}$

注: C′₁ あるいは C′₂ がゼロの場合、Δh′ は無関係となり、ゼロが代入される。 Sharma 2005, eqn. 10参照のこと。

${\displaystyle \Delta H^{\prime }=2{\sqrt {C_{1}^{\prime }C_{2}^{\prime }}}\sin(\Delta h^{\prime }/2),\quad {\bar {H}}^{\prime }={\begin{cases}(h_{1}^{\prime }+h_{2}^{\prime })/2&\left|h_{1}^{\prime }-h_{2}^{\prime }\right|\leq 180^{\circ }\\(h_{1}^{\prime }+h_{2}^{\prime }+360^{\circ })/2&\left|h_{1}^{\prime }-h_{2}^{\prime }\right|>180^{\circ },h_{1}^{\prime }+h_{2}^{\prime }<360^{\circ }\\(h_{1}^{\prime }+h_{2}^{\prime }-360^{\circ })/2&\left|h_{1}^{\prime }-h_{2}^{\prime }\right|>180^{\circ },h_{1}^{\prime }+h_{2}^{\prime }\geq 360^{\circ }\end{cases}}}$

注: C′₁ あるいは C′₂ がゼロの場合、H′ は h′₁+h′₂ となる (2で除算しない; 本質的には、ひとつの角度が不定の場合、もう一方の角度を使って平均を取る。不定の角度がゼロであることを前提としている)。 Sharma 2005, eqn. 7 and p. 23参照のこと。インターネット上のほとんどの実装に、平均色相角の計算エラーがある、と述べている。

${\displaystyle T=1-0.17\cos({\bar {H}}^{\prime }-30^{\circ })+0.24\cos(2{\bar {H}}^{\prime })+0.32\cos(3{\bar {H}}^{\prime }+6^{\circ })-0.20\cos(4{\bar {H}}^{\prime }-63^{\circ })}$

${\displaystyle S_{L}=1+{\frac {0.015\left({\bar {L}}-50\right)^{2}}{\sqrt {20+{\left({\bar {L}}-50\right)}^{2}}}}\quad S_{C}=1+0.045{\bar {C}}^{\prime }\quad S_{H}=1+0.015{\bar {C}}^{\prime }T}$

${\displaystyle R_{T}=-2{\sqrt {\frac {{\bar {C}}'^{7}}{{\bar {C}}'^{7}+25^{7}}}}\sin \left[60^{\circ }\cdot \exp \left(-\left[{\frac {{\bar {H}}'-275^{\circ }}{25^{\circ }}}\right]^{2}\right)\right]}$

CIE 1931色空間におけるマクアダム図。表示されている楕円は最大10倍も実際のサイズと異なる。

許容値は、「基準色に対してどのような色が見分けがつかないほど近いか？」を定義する。もしも2色間の距離が知覚的均一であれば、答えは単純に「丁度可知差異以内のすべての色」である。 このことは色域内において知覚的均一であることを前提としている。 さもないと、許容値は参照値を含む関数となってしまい、複雑化してしまう。

例えばCIE 1931 色空間は、L* (明度)　が一定の場合の許容値を表す線がマクアダムの楕円として定義されている。図で示すとおり、許容値を表す楕円のサイズは、場所によりバラバラであることがわかる。 このことにより、CIELUV と CIELAB色空間の定義へとつながった。

より一般的に、明度を変動させると、許容値は楕円体となる。上記のように距離の表現における重み付け係数を増加させると、各々の係数の軸において楕円体の体積を増やす方向に働く。[16]