超冪根

五次方程式の一般形から、主標準形 (principal quintic form) と呼ばれる三次と四次の項のない形

$${\displaystyle y^{5}+c_{2}y^{2}+c_{1}y+c_{0}=0}$$

に簡約することができる。 一般形の方程式と主標準形の方程式の根が、二次のチルンハウス変換

$${\displaystyle y_{k}:=x_{k}^{2}+\alpha x_{k}+\beta }$$

で関係付けられると仮定すると、二つの係数 α, β は終結式から、あるいは根の冪和とニュートンの公式を用いて、求めることができる。これは α, β の（一次と二次の）連立方程式を与えることとなり、二組の解の何れかを用いてそれらに対応する三つの係数を持つ主標準形方程式が得られる[4]。

この標準形はフェリックス・クラインによる五次方程式の解法に用いられた[5]。

五次方程式は主標準形よりもさらに単純化することが可能で、二次の項も消去したブリング–ジェラード標準形 (Bring–Jerrard normal form):

$${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0}$$

が導かれる。

チルンハウスが試みたように、三次のチルンハウス変換とやはり冪和の公式を用いたのではこれは上手く行かないのだが、1796年にブリングは、主標準形の根をブリング–ジェラード標準形の根に結びつける四次のチルンハウス変換 ${\displaystyle v_{k}:=y_{k}^{4}+\alpha y_{k}^{3}+\beta y_{k}^{2}+\gamma y_{k}+\delta }$ を用いることで、問題をうまく回避する方法を発見した。

この四次のチルンハウス変換からくる新たなパラメータによって、ブリングは他のパラメータの次数を下げることに成功し、六つの未知数を含む二次と三次の五つの方程式からなる連立方程式が導かれた。同じ方法を1852年にジェラードも発見している[6]が、ジェラードはこの分野においてブリングによる既存の結果があることはおそらく知らなかったようである[7]。五次方程式の一般形からこの標準形への完全な変換は Mathematica[8]やMaple[9]のような計算機代数システムを用いれば容易に得られるだろうけれども、これら複雑な変換を経る必要からも分かる通り、得られる式は（特に四次以下の場合の冪根を用いた解と比べて）膨大であり、係数を変数記号とする五次の一般方程式に対するそれは、計算機にとっても多くのストレージを消費するものとなる[8]。

解を係数の代数函数と見なすと、

$${\displaystyle v^{5}+d_{1}v+d_{0}=0}$$

の解は二つの変数 d₁, d₀ の函数ということになるが、実はこのブリング–ジェラード標準形はさらに単純な形

$${\displaystyle u^{5}-u+a=0}$$

に還元できる（この形は後で用いる）ので、冪根と非常によく似た性質を持つ一変数の代数函数が実際には導かれる。

五次方程式の一径数標準形には、ほかにもブリオッシ標準形 (Brioschi normal form) と呼ばれる形

$${\displaystyle w^{5}-10Cw^{3}+45C^{2}w-C^{2}=0}$$

があり、これは有理チルンハウス変換

$${\displaystyle w_{k}:={\frac {\lambda +\mu x_{k}}{{\frac {x_{k}^{2}}{C}}-3}}}$$

によって一般形の根とブリオッシ標準形の根が関係付けられるものになっている。二つのパラメータ λ, μ の値はリーマン球面上で定義された多面体函数を用いて導出でき、またそれら値は正二十面体対称性を持つ対象の正四面体対称性を持つ五つの対象への分割に関係がある[10]。

注目すべき点として、このチルンハウス変換は主標準形をブリング–ジェラード標準形にするために用いた複雑な変換と比べればより単純なものとなっていることが挙げられる。

1858年に、シャルル・エルミートは楕円超越函数を用いた最初の一般五次方程式の解法を発表した[11]（同時期にフランチェスコ・ブリオッシ[12]とレオポルト・クロネッカー[13] もまた同値な解法を得ている）。エルミートは、既によく知られていた三次方程式に対する三角函数を用いた解法を一般化する形でこの解法に到達し、ブリング–ジェラード標準形

$${\displaystyle x^{5}-x+a=0}$$

に対する解を求めた（既にみたように一般の五次方程式は、チルンハウス変換でこの標準形に帰着できる）。エルミートは三次方程式における三角函数の役割を、ブリング–ジェラード標準形の方程式において果たすのが楕円函数であることを観察したのである。 このような取り扱いは、冪根を一般化する過程とみることもできる。冪根が ${\textstyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({{\frac {1}{n}}\ln x}\right)}$ あるいはもっと明確に

$${\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\right)}$$

と表せることに注意すると、エルミート–クロネッカー–ブリオッシの方法は、本質的にはこの式に現れる指数函数 exp を楕円モジュラー函数で、同じく積分${\textstyle \int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}}$ を楕円積分で、それぞれ置き換えるものである。クロネッカーはこの一般化すら任意の高次方程式に適用できる一般定理の特別の場合に過ぎないものと考えていた。そのような一般定理はトマエの公式と呼ばれ、完全な記述は1984年に梅村浩によって与えられた[14]。それは、上記の式の exp（あるいは楕円モジュラー函数）のところをジーゲル・モジュラー形式 で、積分のところを超楕円積分で、それぞれ置き換えるものになっている。