連接環

• ${\displaystyle R}$ を環とし ${\displaystyle M}$ を ${\displaystyle R}$-加群とする。次が完全列になるような自由加群 ${\displaystyle L_{1}}$ と ${\displaystyle L_{0}}$ が存在する

${\displaystyle L_{1}\longrightarrow L_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0}$

これは ${\displaystyle M}$ の表示 (présentation) と呼ばれる。加群 ${\displaystyle M}$ は ${\displaystyle L_{0}}$ が有限型であれば有限型 (type fini) であり、${\displaystyle L_{0}}$ と ${\displaystyle L_{1}}$ が両方とも有限型であれば有限表示 (présentation finie) と呼ばれる[1]。

• ${\displaystyle R}$-加群 ${\displaystyle M}$ は有限型でありかつ ${\displaystyle M}$ のすべての有限型部分加群が有限表示であるときに連接 (cohérent) と呼ばれる。

• 環 ${\displaystyle R}$ は有限型の ${\displaystyle R}$ のすべての左イデアルが有限表示であるときに左連接 (cohérent à gauche) と呼ばれる。右連接環も同様に定義され、連接環 (anneau cohérent) は右連接である左連接環である[2]。

• 例えば可換ネーター環に係数を持つ無限個の不定元を持つ多項式環は連接であるが、ネーターではない[3]。

${\displaystyle R}$ を環とする。

• ${\displaystyle M}$ を左 ${\displaystyle R}$-加群とする。以下の条件は同値である[4]：

1. ${\displaystyle M}$ は左連接である。
2. ${\displaystyle M}$ は有限型でありすべての整数 ${\displaystyle n\geq 0}$ に対して左 ${\displaystyle R}$-加群のすべての準同型 ${\displaystyle R^{n}\longrightarrow M}$ の核は有限型である。
3. ${\displaystyle M}$ は有限型でありすべての有限型左 ${\displaystyle R}$-加群 ${\displaystyle N}$ に対してすべての準同型 ${\displaystyle f:N\rightarrow M}$ に対して ${\displaystyle \ker(f)}$ は有限型である。

• さらに、以下の条件は同値である[2]^,[5]：

1. ${\displaystyle R}$ は左連接である。
2. 有限型左自由 ${\displaystyle R}$-加群のすべての有限型部分加群は有限表示である。
3. すべての有限表示左 ${\displaystyle R}$-加群は連接である。
4. すべての整数 ${\displaystyle n}$ に対して左 ${\displaystyle R}$-加群のすべての準同型 ${\displaystyle R^{n}\longrightarrow R}$ の核は有限型である。

• 左ネーター環は左連接である。

• ${\displaystyle R}$ をオール環とする。この環が右連接シルヴェスター環であるのは、${\displaystyle R}$ に元を持つすべての有限縦ベクトル（あるいは行列）の右零化域が自由であるとき、かつそのときに限る[6]。

• 例えば、右ベズー環は右連接シルヴェスター環である。

• 可換シルヴェスター環 ${\displaystyle R}$ が連接であるのは ${\displaystyle R}$ がGCD環であるとき、かつそのときに限る[7]。

• ${\displaystyle D}$ を複素平面の単連結開集合とする。${\displaystyle D}$ 内の有界解析関数のハーディ環 ${\displaystyle H^{\infty }\left(D\right)}$ はベズー環でない連接シルヴェスター環である[8]。

次のようなアーベル圏 ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ をグロタンディーク圏 (catégorie de Grothendieck) と呼ぶ。任意の余積があり、生成元の族 ${\displaystyle \left(G_{i}\right)_{i\in I}}$ を持ち、次の条件 AB5) を満たす[9]： ${\displaystyle A}$ が ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ の対象であり ${\displaystyle A'}$ が ${\displaystyle A}$ の部分対象でありそして ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ が ${\displaystyle A}$ の部分対象の増大フィルター族であれば、

${\displaystyle \bigcup \nolimits _{i\in I}\left(A^{\prime }\cap A_{i}\right)=A^{\prime }\cap \left(\bigcup \nolimits _{i\in I}A_{i}\right).}$

• 環 ${\displaystyle R}$ 上の左加群の圏 ${\displaystyle _{R}Mod}$ は生成元として加群 ${\displaystyle _{R}R}$ を持つグロタンディーク圏である。

• ${\displaystyle X}$ を位相空間、${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ を ${\displaystyle X}$ 上の環の層、${\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} }$ を ${\displaystyle X}$ 上の左 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-加群の層の圏とする。この圏 ${\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} }$ はグロタンディーク圏である[10]。${\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} }$ における生成元の族は faisceaux induits ${\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}\right\vert U}$ からなる、ただし ${\displaystyle U}$ は ${\displaystyle X}$ の開集合全部の集合を表記する[11]。

• ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ をグロタンディーク圏とする。${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ の対象 ${\displaystyle A}$ は次のとき有限型 (type fini) と呼ばれる。${\displaystyle \bigcup \nolimits _{i\in I}A_{i}=A}$ なる ${\displaystyle A}$ の増大フィルターのすべての族 ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ に対して、${\displaystyle A_{i}=A}$ となる添え字 ${\displaystyle j}$ が存在する。${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ の対象 ${\displaystyle A}$ は次のとき連接 (cohérent) と呼ばれる。有限型でありかつすべての射 ${\displaystyle f:B\rightarrow A}$、ただし ${\displaystyle B}$ は有限型、に対して ${\displaystyle \ker(f)}$ は有限型である[12]。

• ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ を生成元として対象 ${\displaystyle G}$ を持つグロタンディーク圏とし

${\displaystyle 0\longrightarrow A^{\prime }\longrightarrow A\longrightarrow A^{\prime \prime }\longrightarrow 0}$

を ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ における短完全列とする。この列の 2 つの対象が連接であれば、3 つ目の対象も連接である。さらに、対象 ${\displaystyle A}$ が有限型であるのは、完全列

${\displaystyle \coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A\longrightarrow 0}$

ただし ${\displaystyle J\subset I}$ は添え字の有限集合、が存在するとき、かつそのときに限り、${\displaystyle A}$ が連接であるのはそれが有限型でありすべての射 ${\displaystyle \coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A}$、ただし ${\displaystyle J\subset I}$ は有限、に対して完全列

${\displaystyle \coprod \nolimits _{i\in K}G_{i}\longrightarrow \coprod \nolimits _{i\in J}G_{i}\longrightarrow A\longrightarrow 0}$

ただし ${\displaystyle K\subset I}$ は有限、が存在するとき、かつそのときに限る。

すべての連接対象からなる ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ の充満部分圏は、${\displaystyle Coh{\mathfrak {C}}}$ と表記されるが、アーベルであり、入射 ${\displaystyle Coh{\mathfrak {C}}\longrightarrow {\mathfrak {C}}}$ は完全である[13]。

• 圏 ${\displaystyle _{R}Mod}$ において有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接）加群全体である。

• 圏 ${\displaystyle _{{\mathcal {O}}_{X}}\mathbf {Mod} }$ において、有限型（resp. 連接）対象全体は有限型（resp. 連接）${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-加群全体である。

• 環 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ の層は次のとき左連接 (cohérent) と呼ばれる。すべての開集合 ${\displaystyle U\subset X}$ と左 ${\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}\right\vert U}$-加群のすべての準同型写像 ${\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}^{n}\right\vert U\longrightarrow \left.{\mathcal {O}}_{X}\right\vert U}$ に対して、この準同型の核は有限型である[14]。

• すると以下の結果が成り立つ[15]： ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ を左連接環の層とする。左 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-加群の層 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ が連接であるためには、次が必要かつ十分である。局所的に、それは左 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-加群の準同型 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{q}\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}^{p}}$ の余核に同型である、すなわち、${\displaystyle X}$ のすべての空でない開集合 ${\displaystyle U}$ に対して完全列

${\displaystyle \left.{\mathcal {O}}_{X}^{q(U)}\right\vert U\longrightarrow \left.{\mathcal {O}}_{X}^{p(U)}\right\vert U\rightarrow \left.{\mathcal {F}}\right\vert U\longrightarrow 0}$

が存在する。

• N. Bourbaki, Algèbre, Chapitre 10: Algèbre homologique, Springer,‎ 2007, 216 p. (ISBN 3540344926)
• N. Bourbaki, Algèbre commutative, chapitres 1 à 4, Springer,‎ 2006, 364 p. (ISBN 354033937X)
• (en) Henri Bourlès および Bogdan Marinescu, Linear Time-Varying Systems: Algebraic-Analytic Approach, Springer,‎ 2011, 638 p. (ISBN 978-3-64219726-0, lire en ligne)
• (en) Paul Moritz Cohn, Free Rings and their Relations (2nd ed.), Academic Press,‎ 1985, 595 p. (ISBN 0121791521)
• (en) Warren Dicks, « Free algebras over Bézout domains are Sylvester domains », Journal of Pure and Applied Algebra, vol. 27,‎ 1983, p. 15-28
• (en) Warren Dicks および Eduardo D. Sontag, « Sylvester Domains », Journal of Pure and Applied Algebra, vol. 13,‎ 1978, p. 243-275 (lire en ligne)
• Alexandre Grothendieck, « Sur quelques points d'algèbre homologique I », Tohoku Mathematical Journal, vol. 9,‎ 1957, p. 119-184 (lire en ligne)
• Alexandre Grothendieck, « Sur quelques points d'algèbre homologique II », Tohoku Mathematical Journal, vol. 9,‎ 1957, p. 185-221 (lire en ligne)
• Alexander Grothendieck および Jean Dieudonné, « Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas », Publications Mathématiques de l'IHÉS,‎ 1960, p. 5-228 (lire en ligne)
• (en) John C. McConnell および James C. Robson, Noncommutative Noetherian Rings, American Mathematical Society,‎ 2001, 636 p. (ISBN 0821821695, lire en ligne)
• (en) Ulrich Oberst, « Duality Theory for Grothendieck Categories and Linearly Compact Rings », Journal of Algebra, vol. 15, n^o 4,‎ 1970, p. 473-542 (lire en ligne)
• (en) Alban Quadrat, « The fractional representation approach to synthesis problems: an algebraic analysis viewpoint. Part I: (weakly) doubly coprime factorizations », SIAM J. Control Optim., vol. 42, n^o 1,‎ 2003, p. 266-299
• (en) Jan-Erik Roos, « Locally noetherian categories and generalized strictly linear compact rings. Applications », Category Theory, Homology Theory and their applications II, Springer Verlag, Lecture Notes in Mathematics Vol. 92,‎ 1969, p. 197-277 (lire en ligne)
• Jean-Pierre Serre, « Faisceaux algébriques cohérents », Annals of Mathematics, vol. 61, n^o 2,‎ 1955, p. 197-278 (lire en ligne)