離散付値

離散付値 ${\displaystyle \nu }$ をもったすべての体に対して、${\displaystyle k}$ の部分環

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}:=\left\{x\in k\mid \nu (x)\geq 0\right\}}$

を考えることができる。これは離散付値環である。逆に、離散付値環 ${\displaystyle A}$ 上の付値 ${\displaystyle \nu :A\rightarrow \mathbb {Z} \cup \{\infty \}}$ は商体 ${\displaystyle {\text{Quot}}(A)}$ 上の付値に拡張でき、離散付値体 ${\displaystyle k}$ を与える。この体から得られる離散付値環 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{k}}$ はちょうど ${\displaystyle A}$ である。

• 固定された素数 ${\displaystyle p}$ に対し、0 でない任意の元 ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} }$ に対し ${\displaystyle x=p^{j}{\frac {a}{b}}}$ と書く。ただし ${\displaystyle j,a,b\in \mathbb {Z} }$ であって ${\displaystyle p}$ は ${\displaystyle a,b}$ を割らないとする。すると ${\displaystyle \nu (x)=j}$ は付値になり、p-進付値（p-adic valuation）と呼ばれる。

Fesenko, Ivan B.; Vostokov, Sergei V. (2002), Local fields and their extensions, Translations of Mathematical Monographs, 121 (Second ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3259-2, MR1915966

• 離散付値環
• 付値
• 付値環