離散化誤差

信号処理では、離散化に対応するのは標本化であり、標本化定理の条件が満たされる場合、情報は失われない。そうでない場合、標本化によって発生する誤差は折り返し雑音（エイリアシング）と呼ばれる。

微分方程式の数値解法において、離散化誤差が原因で数学的には得られるはずのない解が現れることがある[1]。

1階微分Df の離散化Δf として次式（前進差分という）を採用する：

${\displaystyle \Delta f(x)={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

このとき、厳密な微分との差は、

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f(x)-Df(x)&={\frac {h}{2}}D^{2}f(x)+\cdots \\&=O(h)\end{aligned}}}$

すなわち、h の1次のオーダーとなる。ここでO はランダウの記号である。このように、誤差がh の1次のオーダーとなることを、1次精度という[2]。

1階微分Df の離散化Δf として次式（中心差分という）を採用する：

${\displaystyle \Delta f(x)={\frac {f(x+h)-f(x-h)}{2h}}}$

このとき、厳密な微分との差は、

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f(x)-Df(x)&={\frac {h^{2}}{6}}D^{3}f(x)+\cdots \\&=O(h^{2})\end{aligned}}}$

となる。このことを、2次精度という[2]。