零ベクトル空間

零ベクトル空間はベクトル空間の公理を満足する:

• ({0}, +) はアーベル群（とくに自明群）を成す。
• スカラー乗法の結合性および加法への分配性が成り立つ。つまり α, β ∈ K として
  • ${\displaystyle \alpha \cdot (\beta \cdot 0)=\alpha \cdot 0=0=(\alpha \cdot \beta )\cdot 0,}$
  • ${\displaystyle \alpha \cdot (0+0)=\alpha \cdot 0=0=0+0=\alpha \cdot 0+\alpha \cdot 0,}$
  • ${\displaystyle (\alpha +\beta )\cdot 0=0=0+0=\alpha \cdot 0+\beta \cdot 0.}$
• 単型、つまり K の乗法単位元 1_K は恒等写像として作用する:
  • ${\displaystyle 1_{K}\cdot 0=0}$

零ベクトル空間の基底はただ一つ、空集合である:

$${\displaystyle \langle \emptyset \rangle =\{0\}.}$$

左辺は空集合で張られる部分空間を意味する。よって零ベクトル空間の次元は

$${\displaystyle \dim(\{0\})=|\emptyset |=0}$$

となる。

逆に、与えられた体上の零次元ベクトル空間は必ず零ベクトル空間に同型になる。

与えられた体 K 上の任意のベクトル空間 V をとると、V にはベクトルの加法に関する単位元として零ベクトル 0_V が一意的に存在する。部分集合 U ≔ {0_V} はベクトルの加法およスカラー乗法に関して閉じている—式で書けば

• ${\displaystyle U\neq \emptyset }$
• ${\displaystyle 0_{V}+0_{V}=0_{V}\in U}$
• ${\displaystyle \alpha \cdot 0_{V}=0_{V}\in U\qquad (\forall \alpha \in K)}$

が成り立つ—から、U は V の部分空間となる。よって U はそれ自身零ベクトル空間に同型な一元ベクトル空間を成し、V の（部分）零ベクトル空間などと呼ばれる。部分空間は少なくとも一つの元を含まなければならないから、零ベクトル空間は最小の部分空間である。U₁, U₂ が V において互いに補な部分空間ならば常に

$${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}=\{0_{V}\}}$$

である。

ベクトル空間の直和（あるいはベクトル空間の直積）に関して、零ベクトル空間はその単位元である。つまり任意のベクトル空間 V に対して

$${\displaystyle \{0\}\oplus V\cong V\cong V\oplus \{0\}\qquad (\{0\}\times V\cong V\cong V\times \{0\}}$$

が成り立つ。一方、ベクトル空間のテンソル積に関しては吸収元（零元）で

$${\displaystyle \{0\}\otimes V\cong \{0\}\cong V\otimes \{0\}}$$

が成り立つ。

与えられた体 K 上のすべてのベクトル空間を対象としすべての K-線型写像を射とする圏 Vect_K において、零ベクトル空間は零対象となる。

任意のベクトル空間から零ベクトル空間への線型写像はただ一つ存在して、すべてのベクトルが零ベクトルに写される（つまり零写像）。かつ、零ベクトル空間から任意のベクトル空間への線型写像はただ一つ存在して、ただ一つのベクトルが各ベクトル空間内の零ベクトルとして埋め込まれる。