収束数列空間

数学の分野、函数解析学において実または複素の収束数列 (x_n) 全体からなるベクトル空間は c と書かれる。これに一様ノルム

${\displaystyle \|x\|_{\infty }=\sup _{n}|x_{n}|}$

を考えるとき、収束数列の空間 c はバナッハ空間を成す。これは有界数列の空間 ℓ^∞ の閉部分空間であり、かつまた零列の（バナッハ）空間 c₀ を閉部分空間として含む。c の双対空間は（c₀ のと同じく）ℓ¹ に等長同型である。特に c と c₀ の何れも回帰的でない。前者について、ℓ¹ と c* が同型であることは内積を、(x₀,x₁,...) ∈ ℓ¹ と (y₁,y₂,...) ∈ c に対して

${\displaystyle x_{0}\lim _{n\to \infty }y_{n}+\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}y_{i}}$

と与えればよい。これは順序数 ω 上で考えたリースの表現定理である。他方 c₀ について、(x_i) ∈ ℓ¹ と (y_i) ∈ c₀ の内積は

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }x_{i}y_{i}}$

とすればよい。