順序指数函数

K は実または複素数体、A は K 上の代数とする。写像 a: K → A によって与えられる A の元からなる一径数族 a(t) の径数 t はこの文脈ではしばしば時間径数 (time parameter) として言及される。

時間径数で径数付けられた元 a を引数とする順序指数函数は

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {OE} [a](t):={\mathcal {T}}\left\{e^{\int _{0}^{t}a(t')\,dt'}\right\}&\equiv \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\int _{0}^{t}\cdots \int _{0}^{t}{\mathcal {T}}\left\{a(t'_{1})\cdots a(t'_{n})\right\}\,dt'_{1}\cdots dt'_{n}\\&\equiv \sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{t}\int _{0}^{t'_{n}}\int _{0}^{t'_{n-1}}\cdots \int _{0}^{t'_{2}}a(t'_{n})\cdots a(t'_{1})\,dt'_{1}\cdots dt'_{n-2}dt'_{n-1}dt'_{n}\end{aligned}}}$$

のように書かれる。ここに n = 0 の項は 1 に等しく、また ${\textstyle {\mathcal {T}}}$ はこの指数函数が時間順であることを保証する高階演算子である（時間順であるというのは、この指数函数の展開に現れる a(t) に関する任意の積が、t が積の右から左へ向けて値が増加する順番でなければならないという意味である。模式的な例を挙げれば、

$${\displaystyle {\mathcal {T}}\left\{a(1.2)a(9.5)a(4.1)\right\}=a(9.5)a(4.1)a(1.2).}$$

のように並べ替える）。このような制限は、考える代数が必ずしも可換でないところで積を考えるので必要になる。 この演算によって、径数付けられた元は径数付けられた元の上に写される。記号で書けば

$${\displaystyle \operatorname {OE} \colon (K\to A)\to (K\to A).}$$

このような積分をより厳密に定義する方法は様々あり、以下にいくつか挙げる。

指数函数の順序積

順序指数函数を、無限小指数函数の左乗法的積分、あるいは同じことだが指数函数の順序積の項の数を無限大にした極限

$${\displaystyle \operatorname {OE} [a](t)=\prod _{0}^{t}e^{a(t'){\mathit {dt'}}}:=\lim _{N\to \infty }e^{a(t_{N})\Delta t}e^{a(t_{N-1})\Delta t}\cdots e^{a(t_{1})\Delta t}e^{a(t_{0})\Delta t}}$$

として、定義することができる。ただし、時間モーメント {t₀, …, t_N} は（Δt ≡ t⁄N として）t_i ≡ iΔt (i = 0, …, N) と定める。

この順序指数函数は実は幾何積分である[1][2][3]。

微分方程式の解

順序指数函数を以下の微分方程式の初期値問題

$${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\operatorname {OE} [a](t)=a(t)\operatorname {OE} [a](t),\quad \operatorname {OE} [a](0)=1}$$

のただ一つの解として定義することができる。

積分方程式の解

順序指数函数は以下の積分方程式

$${\displaystyle \operatorname {OE} [a](t)=1+\int _{0}^{t}a(t')\operatorname {OE} [a](t'){\mathit {dt'}}}$$

の解である。この積分方程式は先の微分方程式の初期値問題に同値である。

無限級数展開

順序指数函数は、無限和

$${\displaystyle \operatorname {OE} [a](t)=1+\int _{0}^{t}a(t_{1}){\mathit {dt}}_{1}+\int _{0}^{t}\!\!\int _{0}^{t_{1}}a(t_{1})a(t_{2})\,{\mathit {dt}}_{2}{\mathit {dt}}_{1}+\cdots }$$

として定義することができる。この無限級数展開は、先の積分方程式を漸化式と見て再帰的に代入していくことで導出できる。

多様体 M が与えられ、その上の接束の元 e ∈ TM に群作用 g: e ↦ ge が定義され、一点 x ∈ M において

$${\displaystyle de(x)+\operatorname {J} (x)e(x)=0}$$

を満足するものとする。ここに d は外微分で、J(x) は e(x) に作用する接続作用素（1-形式場）である。 上の条件式の両辺を積分するとき（ここでの ${\textstyle \operatorname {J} (x)}$ は座標基底で表された接続作用素として）、因子の順番を経路 γ(t) ∈ M に沿って並べる経路順序作用素 P を用いれば

$${\displaystyle e(y)=\operatorname {P} \exp \left(-\int _{x}^{y}\operatorname {J} (\gamma (t))\gamma '(t)\,dt\right)e(x)}$$

が成り立つ。 特別の場合として、J(x) が反対称作用素で、経路 γ が辺の長さ |u|, |v| の x, x + u, x + u + v, x + v を頂点とする矩形であるとき、上記の等式は簡単になり

$${\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {OE} [-\operatorname {J} ]e(x)\\[5pt]={}&\exp[-\operatorname {J} (x+v)(-v)]\exp[-\operatorname {J} (x+u+v)(-u)]\exp[-\operatorname {J} (x+u)v]\exp[-\operatorname {J} (x)u]e(x)\\[5pt]={}&[1-\operatorname {J} (x+v)(-v)][1-\operatorname {J} (x+u+v)(-u)][1-\operatorname {J} (x+u)v][1-\operatorname {J} (x)u]e(x)\end{aligned}}}$$

と書ける。これにより、群作用に関する恒等式 ${\textstyle \operatorname {OE} [-\operatorname {J} ]\mapsto g\operatorname {OE} [\operatorname {J} ]g^{-1}}$ を得る。${\displaystyle -\operatorname {J} (x)}$ が滑らかな接続ならば、上式を無限小量 |u|, |v| に関して二次まで展開して、曲率テンソルに比例する項を持つ順序指数函数の間の恒等式が得られる。

• 経路順序演算子: 積の順番を経路順に整列させるメタ演算子
• マグヌス展開
• 乗法的積分
• 乗法的微分積分学
• 異種微分積分学における導函数と積分函数の一覧
• 乗法的不定和分
• フラクタル微分

1. Michael Grossman and Robert Katz. Non-Newtonian Calculus, ISBN 0912938013, 1972.
2. A. E. Bashirov, E. M. Kurpınar, A. Özyapıcı. Multiplicative calculus and its applications, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2008.
3. Luc Florack and Hans van Assen."Multiplicative calculus in biomedical image analysis", Journal of Mathematical Imaging and Vision, 2011.

• Non-Newtonian calculus website
• 黒木玄5 付録1: 多重対数函数と線形常微分方程式と反復積分「コンパクトRiemann面に関する相互法則」『黒木玄の文書置き場 雑多なノート』、黒木玄のウェブサイト。https://genkuroki.github.io/documents/20160213ReciprocitiesForRiemannSurfaces.pdf#12。