重力インスタントン

ユークリッド化されたターブ・ナット計量は

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{4}}{\frac {r+n}{r-n}}dr^{2}+{\frac {r-n}{r+n}}n^{2}\sigma _{3}^{2}+{\frac {1}{4}}(r^{2}-n^{2})(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}$

によって与えられる。

江口・ハンソン計量は

${\displaystyle ds^{2}=\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right)^{-1}dr^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}\left(1-{\frac {a}{r^{4}}}\right)\sigma _{3}^{2}+{\frac {r^{2}}{4}}(\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2})}$

のように表現される。ここで、座標の範囲は r ≥ a^1/4 である。

この計量がいたるところ滑らか、つまりregularな計量であるためには、r → a^1/4, θ= 0, π のところで錐特異点（conical singularity）がないことである。この条件はパラメーター a がゼロかそうでないかで場合分けされ、

• a = 0 のとき座標 ψ の周期が 4π
• a ≠ 0 のときは座標 ψ の周期が 2π

とならなければならない。

別の座標系を用いて、

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{V(\mathbf {x} )}}(d\psi +{\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {x} )^{2}+V(\mathbf {x} )d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} }$

と表現されることもある。ここで、

${\displaystyle \nabla V=\pm \nabla \times {\boldsymbol {\omega }},\quad V=\sum _{i=1}^{2}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}}$

である。

ギボンズ・ホーキング計量[1]は

${\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{V(\mathbf {x} )}}(d\tau +{\boldsymbol {\omega }}\cdot d\mathbf {x} )^{2}+V(\mathbf {x} )d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} ,}$

と定義され、ここに、

${\displaystyle \nabla V=\pm \nabla \times {\boldsymbol {\omega }},\quad V=\varepsilon +2M\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|}}.}$

である。${\displaystyle \epsilon =1}$ は、多重ターブ・ナッツ計量に対応し、${\displaystyle \epsilon =0}$ で ${\displaystyle k=1}$ では平坦空間であり、${\displaystyle \epsilon =0}$ で ${\displaystyle k=2}$ では、（異なる座標で）江口・ハンソン解である。