カーダー・パリージ・ザン方程式

カーダー・パリージ・ザン方程式（英: Kardar–Parisi–Zhang equation) は、メヘラーン・カールダール、ジョルジョ・パリージ、イー・チャン・ジャン (Yi-Cheng Zhang) らによって提案された[1]、ランジュバン型の非線形の確率偏微分方程式であり、結晶の界面成長を記述する。しばしば提案した三人の頭文字を取って、KPZ方程式と略記される。

{\frac {\partial h}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)=\nu \nabla ^{2}h\left({\vec {x}},t\right)+{\frac {\lambda }{2}}\left(\nabla h\right)^{2}\left({\vec {x}},t\right)+\eta \left({\vec {x}},t\right).

$\textstyle h\left({\vec {x}},t\right)$ は、時刻 $\textstyle t$ での $\textstyle {\vec {x}}$ における界面の高さを表し、 $\textstyle \nu$ は界面張力、 $\textstyle \lambda$ は非線形効果の強さ、 $\textstyle \eta \left({\vec {x}},t\right)$ は確率的なノイズを表す。ノイズ項 $\textstyle \eta \left({\vec {x}},t\right)$ は、

\left\{{\begin{aligned}\left\langle \eta \left({\vec {x}},t\right)\right\rangle &=0\\\left\langle \eta \left({\vec {x}},t\right)\eta \left({\vec {x}}\,',t'\right)\right\rangle &=2D\delta ^{d}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}\,'\right)\delta \left(t-t'\right)\end{aligned}}\right.

を満たすホワイトノイズ、特にガウシアンノイズであるとする。ここで $\textstyle \left\langle \cdot \right\rangle$ は角括弧で囲まれた物理量の配位空間での平均を表し、 $\textstyle \delta \left(\cdot \right)$ はディラックのデルタを表す。また $\textstyle D$ はノイズの強さである。

界面の高さ $\textstyle h\left({\vec {x}},t\right)$ は、 $\textstyle {\vec {x}}$ に対する一価関数であることを仮定する。この仮定により、KPZ方程式で記述される界面は巨視的にはオーバーハングを持たない。

方程式の構成

右辺第2項の非線形項 $\textstyle {\frac {\lambda }{2}}\left(\nabla h\right)^{2}\left({\vec {x}},t\right)$ がなければ、方程式はエドワーズ・ウィルキンソン方程式 (Edwards–Wilkinson equation; EW eq.)[2] になる。界面の傾きを $\textstyle \theta$ とし、その方向に速度 $\textstyle v$ で界面が成長すると考えると、微小時間 $\textstyle \delta t$ の間に、界面の高さは $\textstyle \delta h=\left[\left(v\delta t\right)^{2}+\left(v\delta t\tan \theta \right)^{2}\right]^{1/2}$ だけ変化する。 $\textstyle \tan \theta =\left|\nabla h\right|$ と置き換えられることに注意すれば、

{\frac {\delta h}{\delta t}}=v\left[1+\left(\nabla h\right)^{2}\right]^{1/2}\simeq v+{\frac {v}{2}}\left(\nabla h\right)^{2}+\cdots ,

とテイラー展開することができる。展開の第1項は座標変換によって消去することができるので、最も主要な項は第2項の非線形項であり、これが KPZ方程式の非線形項を与える。

方程式の変形

コール・ホップ変換

高さの関数 $\textstyle h\left({\vec {x}},t\right)$ を関数 $\textstyle W\left({\vec {x}},t\right)$ を用いて、 $\textstyle h\left({\vec {x}},t\right)=\left(2\nu /\lambda \right)\ln W\left({\vec {x}},t\right)$ と変換すると、KPZ方程式は以下のように書き直される[注釈 1]。この変換をコール・ホップ変換という。

{\frac {\partial W}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)=\nu \nabla ^{2}W\left({\vec {x}},t\right)+{\frac {\lambda }{2\nu }}\eta \left({\vec {x}},t\right)W\left({\vec {x}},t\right).

これは時間依存するランダム・ポテンシャル中での拡散方程式になっている。この方程式の解は形式的に、以下の形に書ける。

\displaystyle W\left({\vec {x}},t\right)=\int _{({\vec {0}},0)}^{({\vec {x}},t)}D{\vec {x}}\,'\left(t'\right)\exp \left\{-\int _{0}^{t}dt'\left[{\frac {\nu }{2}}\left({\frac {d{\vec {x}}\,'\left(t'\right)}{dt'}}\right)^{2}+{\frac {\lambda }{2\nu }}\eta \left({\vec {x}}\,',t'\right)\right]\right\}.

上記の経路積分より、 $\textstyle W\left({\vec {x}},t\right)$ は、 $\textstyle ({\vec {0}},0)$ と $\textstyle \left({\vec {x}},t\right)$ を結ぶ、 $\textstyle d+1$ 次元空間上の方向付きの高分子 (directed polymer; DP) のすべての配位に対するボルツマン因子の和であると見なせる[3][4]。

バーガース方程式への変換

別の有用な変換として、ベクトル場 $\textstyle {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)=-\nabla h\left({\vec {x}},t\right)$ を用いて、界面の高さ $\textstyle h\left({\vec {x}},t\right)$ を $\textstyle {\vec {v}}$ で書き換えると、方程式は以下の形になる[注釈 2]。

{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)+\lambda {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)\cdot \left(\nabla {}{\vec {v}}\right)\left({\vec {x}},t\right)=\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)-\nabla \eta \left({\vec {x}},t\right).

ここで $\textstyle \lambda =1$ と置けば、これは $\textstyle {\vec {v}}$ を渦なしの速度場としたときの、バーガース方程式にノイズを加えたものになっている。あるいは $\textstyle \lambda {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)=-\lambda \nabla h\left({\vec {x}},t\right)$ を改めて $\textstyle {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)$ に置き換えてもバーガース方程式の形に変形できる。

スケーリング

KPZ方程式をバーガース方程式へ変換した後、時間と空間に対し適当なスケール変換を施すと、

{\vec {x}}\rightarrow b{\vec {x}},\quad t\rightarrow b^{z}t,\quad {\vec {v}}\rightarrow b^{\alpha -1}{\vec {v}}\quad \left(h\rightarrow b^{\alpha }h\right),

ノイズ $\textstyle \eta \left({\vec {x}},t\right)$ について、 $\textstyle \left\langle \eta \left({\vec {x}},t\right)\eta \left({\vec {x}}\,',t'\right)\right\rangle =2D\delta ^{d}\left({\vec {x}}-{\vec {x}}\,'\right)\delta \left(t-t'\right)$ の関係を仮定したことに注意すれば、デルタ関数について、

\delta \left(x\right)\rightarrow b^{-1}\delta \left(x\right),\quad \delta \left(t\right)\rightarrow b^{-z}\delta \left(t\right),

と変換されるので、バーガース方程式は、

\left.{\begin{aligned}b^{\alpha -z-1}{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)+b^{2\alpha -3}\lambda {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)\cdot \left(\nabla {\vec {v}}\right)\left({\vec {x}},t\right)&=b^{\alpha -3}\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)-b^{-\left(d+2+z\right)/2}\nabla \eta \left({\vec {x}},t\right),\\{\frac {\partial {\vec {v}}}{\partial t}}\left({\vec {x}},t\right)+b^{\alpha +z-2}\lambda {\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)\cdot \left(\nabla {\vec {v}}\right)\left({\vec {x}},t\right)&=b^{z-2}\nu \nabla ^{2}{\vec {v}}\left({\vec {x}},t\right)-b^{\left(z-2\alpha -d\right)/2}\nabla \eta \left({\vec {x}},t\right).\end{aligned}}\right.

となる。ここで $\lambda$ の項はスケール変換に対して不変であるとすると、指数 $\textstyle \alpha$ , $\textstyle z$ について、 $\textstyle \alpha +z=2$ が成り立つことになる。

注釈

対数の微分 $\scriptstyle \partial _{\alpha }\left(\ln W\right)=\left(\partial _{\alpha }W\right)/W$ を計算してから $\scriptstyle W$ を両辺に掛ける。
KPZ方程式の各項について $\textstyle \nabla$ を左から掛ける。

参考文献

Kardar, M.; Parisi, G.; Zhang, Y.-C. (1986-3-3). “Dynamic Scaling of Growing Interfaces”. Physical Review Letters (American Physical Society) 56: 889–892. doi:10.1103/PhysRevLett.56.889.

Edwards, S. F.; Wilkinson, D. R. (1982-5-8). “The surface statistics of a granular aggregate”. Proceedings of the Royal Society Series A (the Royal Society) 381: 17–31. doi:10.1098/rspa.1982.0056.

Huse, David A.; Henley, Christopher L.; Fisher, Daniel S. (1985-12-8). “Huse, Henley, and Fisher respond”. Physical Review Letters (American Physical Society) 55: 2924. doi:10.1103/PhysRevLett.55.2924.

Kardar, Mehran; Zhang, Yi-Cheng (1987-5-18). “Scaling of Directed Polymers in Random Media”. Physical Review Letters (American Physical Society) 58: 2087–2090. doi:10.1103/PhysRevLett.58.2087.